Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной

Этот способ состоит в введении некоего суперкритерия, т.е. скалярной функции векторного аргумента и называется также линейной сверткой:

q₀(x)=q₀(q₁(x),q₂(x),…q_p(x)) (1)

Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине, выделив тем самым наилучшую (по этому критерию) альтернативу. Вид функции определяется те, как мы представляет себе вклад каждого критерия в суперкритерий. Обычно при этом используются аддитивные или мультипликативные функции:

q₀(x) = (2)

1-q₀(x) = (3)

Коэффициенты S_i обеспечивают, во-первых, безразмерность числа q_i(x)/S_i, так как частные критерии могут иметь различную размерность и тогда некоторые арифметические операции, например, сложение, могут не иметь смысла. Во-вторых, в необходимых случаях c их помощью выполняется условие нормировки. Коэффициенты a_i, b_i отражают относительный вклад частных критериев в суперкритерий, т.е. являются весовыми коэффициентами.

Если не требуется обеспечивать безразмерность, функция (2) записывается в более простом виде:

q₀(x) = (4)

Таким образом, задача сводится к максимизации суперкритерия:

x^* = arg max q₀(q₁(x), q₂(x),….q_p(x)). (5)

xÎX

Трудности и недостатки метода. Упорядочение точек в многомерном пространстве не может быть однозначным и полностью определяется видом упорядочивающей функции. Роль такой упорядочивающей функции играет суперкритерий, и даже очень малое его изменение может привести к тому, что новая оптимальная альтернатива будет очень сильно отличаться от старой. Пример: на рисунке 1а видно, как изменяется выбор наилучшей альтернативы при простой смене коэффициентов в линейной упорядочивающей функции (2), что выражается в изменении наклона соответствующей прямой:

Заметим, что линейные комбинации частных критериев придают упорядочению следующий смысл: «чем дальше от нуля в заданном направлении, тем лучше». На рисунке 1а направления, соответствующие суперкритериям изображены стрелками. Такое упорядочивание в многомерном пространстве свойственно некоторым балльным системам оценки вариантов.

Другой вариант поиска альтернативы, самой удаленной от нуля, дает максимизации минимального критерия:

x^* = arg max {min[ ], (6)

xÎX

что означает поиск вокруг направления методом «подтягивания самого отстающего». Этот критерий называется также максиминным.

Дата добавления: 2014-01-07