Свойства векторного произведения

1. × = 0 для любого вектора .

2. Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда × = 0.

3. Площадь параллелограмма, построенного на неколлинеарных векторах и , равна

│× │.

4. Площадь треугольника, построенного на неколлинеарных векторах и , равна

│× │.

5. × = - (× ).

6. (+ )×= × + × .

7. (α)×(β) = (× )(αβ).

Теорема 2. Если = (х₁;у₁;z₁) и = (х₂;у₂;z₂), то

× = = − + .

Доказательство. Запишем разложение векторов и по базисным векторам:

= + + , = + + .

Составим таблицу векторных произведений базисных векторов; используя рис.9.4:

´
			-
	-
		-

Схема: → × ↓ =

Теперь

× = (+ + ) × (+ + ) ()×() + ()×() + ()×() + + ()×() + ()×() + ()×() + ()×() + ()×() + ()×()

(×)+ (×)+ (×)+ (×)+ (×)+ (×)+

+ (×)+ (×)+ (×)−() + () + () − () − − () + () = (− ) − (− ) + (− ) = −

− + = .

Следствие 2.1. Площадь параллелограмма, построенного на неколлинеарных векторах = (х₁;у₁;z₁) и = (х₂;у₂;z₂) равна модулю векторного произведения × , т.е.

S_{паралл.} = │× │= .

Следствие 2.2. Площадь треугольника, построенного на неколлинеарных векторах

= (х₁;у₁;z₁) и = (х₂;у₂;z₂) вычисляется по формуле

S_треуг. = .

Пример. Найти площадь треугольника АВС, если А(-1;-1;1), В(1;-3;4), С(3;-1;-5).

Решение. Найдём координаты векторов и :

= (2;-2;3), = (4;0;-6). Тогда

× = = ×12 + ×24 + ×8, т.е. × = (12;24;8).

Следовательно,

S_ABC = │× │= = 14. (кв.ед)

Ответ: 14.

Дата добавления: 2014-01-07