Площадь поверхности вращения

Пусть кривая задана уравнением , , и пусть функция

неотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на . Тогда поверхность, образованная вращением кривой вокруг оси (Рис.19.7.), имеет площадь , которая может быть вычислена по формуле

.

Если же поверхность получается вращением кривой , заданной уравнением , , вокруг оси , то площадь такой поверхности вычисляется по формуле

.

Пример. Часть сферы, вырезаемая двумя параллельными плоскостями, находящимися на расстоянии друг от друга, называется шаровым поясом высоты . Вычислить площадь шарового пояса высоты , если радиус шара равен (Рис.19.8.).

Решение. Поверхность шарового пояса можно рассматривать как поверхность,

полученную при вращении дуги окружности

, где , , вокруг оси (Рис.19.9.). Так как , то

.

Тогда = = .

В частности, если , то получаем площадь поверхности сферы .

19.7.4. Объём тела.

Рассмотрим некоторое тело и вычислим его объём . Допустим, что известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными оси . С изменением меняется и площадь сечения, т.е. площадь сечения является некоторой функцией . Если эта функция непрерывна на , то объём тела

.

В частности, если тело образовано вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху дугой непрерывной линии , где (Рис.19.10.), то и получаем формулу

.

Если же тело получено вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной дугой линии , , то его объём

.

Пример. Вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , (Рис.19.11.).

Решение. = = = .

Дата добавления: 2014-01-07