Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Тройной интеграл и его вычисление




 

По аналогии с двойным интегралом вводится понятие тройного интеграла.

Рассмотрим ограниченную замкнутую пространственную область V и определённую в ней непрерывную функцию . Аналогично строится интегральная сумма по данному объёму и определяется тройной интеграл от функции по пространственной области V:

=

или

= .

Тройной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствами двойного интеграла.

Предположим, что область V является стандартной в направлении оси , т.е. удовлетворяет следующим условиям:

1) всякая прямая, параллельная оси и имеющая с данной областью общие точки, пересекает границу области только в двух точках;

2) проекция S области V на плоскость представляет собой стандартную область в направлении оси или оси .

Если стандартная область V ограничена сверху поверхностью , снизу ─ поверхностью , а проекция S области V стандартна в направлении оси и определяется неравенствами , , то

= .

Замечание 1. Если область S является стандартной в направлении оси и определяется неравенствами , , то

= .

Замечание 2. Если область V является стандартной в направлении каждой координатной оси и её проекции на координатные плоскости являются стандартными в направлении каждой соответствующей оси, то пределы интегрирования в трёхкратном интеграле можно расставить шестью различными способами.

Замечание 3. Если V ─ прямоугольный параллелепипед, определяемый неравенствами , , , то

= .

Пример. Вычислить , где V ─ параллелепипед, ограниченный плоскостями

Решение. По замечанию 3 имеем

===

= = = === =.

Пример 2. Вычислить интеграл , где V ─ пирамида, ограниченная плоскостью и координатными плоскостями (Рис.22.7.).

Решение. Область V проектируется на плоскости в треугольник АОВ, ограниченный прямыми . Имеем ==

==

=

 

 

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 406; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.