Метод Галеркина

Пусть требуется найти решение уравнения

Как и в методе Ритца, выбираем координатную систему функций φ₁, φ₂, …, φ_n, удовлетворяющую следующим требованиям [29]:

4) элементы координатной системы, взятые в любом конечном количестве, линейно независимы;

5) координатная система полна в некоторой метрике, определенной на области D_L;

6) при любых значениях постоянных а₁, а₂,…, а_n элемент

(4.7)

принадлежит D_L и выражение Lx_n имеет смысл.

Запишем условие ортогональности невязки уравнения к первым n координатным функциям

Это означает, что выражение «равно нулю» в подпространстве Н⁽ⁿ⁾ с базисом φ_i, i=1,2,…,n, т.е. ортогонально базисным функциям и любому элементу этого подпространства.

В результате получаем систему из n уравнений для нахождения коэффициентов а₁, а₂,…, а_n. Если оператор L – линеен, то эта система представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно а_i.

Решив полученную систему и подставив коэффициенты а_i в (4.7), получаем элемент x_n, который назовем n – м приближением по Галеркину решения данной задачи.

Методы Ритца и Галеркина широко используются в методе конечных элементов.

Дата добавления: 2014-01-07