Комплексная плоскость. Функция комплексного переменного

Комплексной плоскостью в математике называется множество упорядоченных пар (x, y), где . Обычно производится отождествление комплексной плоскости и поля комплексных чисел по принципу . Это позволяет ввести на плоскости алгебраические операции. Рассмотрим топологические свойства комплексной плоскости, и не будем проводить различий между парой z = (x, y) и комплексным числом z = x + iy.

то понятие — обобщение предыдущего варианта:

.

Такими функциями занимается отдельная область математического анализа — теория функций комплексного переменного или комплексный анализ.

Функция также может быть представлена в виде

,

однако имеется более глубокая связь между u и v. Например, для того, чтобы функция f (z) была дифференцируема, должны выполняться условия Коши — Римана:

;

.

Комплекснозначная функция — функция действительного переменного, имеющая комплексные значения:

.

Такая функция может быть представлена в виде

f (x) = u (x) + iv (x),

где i — это мнимая единица, т. е. , а и — действительные функции. Функция называется действительной частью функции , а — её мнимой частью.

[править] Свойства

• Функция

f ^* (x) = u (x) − iv (x)

называется комплексно сопряжённой функции .

• Произведение функции на её комплексно сопряжённую является квадратом модуля функции. Квадрат модуля функции всегда положителен и обозначается символом

| f (x) | ² = f (x) f ^* (x) = u (x)² + v (x)²

Дата добавления: 2014-01-07