Производя подстановку запишем

Уравнение темпа в соответствии со структурной диаграммой имеет вид

NG = r×N.

N = N + DT × r × N.

Совершая предельный переход DT ® 0, получим
dN = r×N×dt

или dN/dt = r × N.

Интегрирование последнего дифференциального уравнения в пределах от нуля до некоторого времени Т позволяет записать

или

N(T) = N(0)×exp(r×t).

В отсутствие консументов популяция растет экспоненциально во времени (рис.2).

Рис.2. Кривая роста популяции жертвы:

r = 0,1; N1 = 100; t = 0…10

При условии, что жертвы уничтожаются хищником с численностью популяции С, численность жертв N будет зависеть от частоты нападений а’. Произведение a’×N будет множителем эффективности нападений хищников. Если при отсутствии пищи хищники вследствие голодания имеют смертность q, то гибель хищников в модели компенсируется рождением новых особей со скоростью потребления пищи пропорциональной произведению a’С. Множитель рождаемости хищников может быть записан в виде

f×a’×C,

где f – эффективность влияния пищи на рождаемость хищников. Определив темп смертности жертв ND, темпы рождаемости CG и смертности CD хищников, построим системную диаграмму модели Лотки-Вольтерры (рис.3).

Рис.3. Системная диаграмма модели Лотки-Вольтерры

Выпишем уравнения уровней в виде:

N = N + DT(NG – ND);

C = C+ DT(CG – CD).

Уравнения темпов для модели имеют вид:

NG = r×N;

ND = a’×N×C;

CG = f×a’×C×N;

CD = q×C.

Производя подстановку уравнений темпов в уравнения уровней, получим систему уравнений в конечных разностях:

N = N + DT×N.J(r – a’×C);

C = C + DT×C(f×a’×N – q).

Решение системы конечно-разностных уранений позволяет построить кривые динамики популяций хищника и жертвы (рис.4).

Совершая предельный переход (DT ® 0), запишем классические уравнения Лотки-Вольтерры

DN/dt = (r – a’×C)×N;

DC/dt = (f×a’×N – q)×C.

Рис.4. Решение конечно-разностного уравнения Лотки-Вольтерры:

а – динамика популяции жертвы; б - динамика популяции хищника;

в – взаимосвязь динамики популяции хищника и жертвы;

r = 0,1; a = 0,02; f = 0,3; q = 0,01; N1 = 100; C1 = 10; t = 0…10

Дата добавления: 2014-01-07