Стандартный нормальный закон распределения случайной величины

Нормальный закон распределения с параметрами и называется стандартным или нормированным и обозначается :

(7.4)

Значения функции рассчитаны для всех аргументов и сведены в таблицу, которую можно найти в различных справочниках и учебниках по теории вероятностей и математической статистики.

Свойства функции:

1) функция четная;

2) с увеличением аргумента по абсолютной величине, монотонно убывает и при имеет прелом нуль;

3) при , при , поэтому при можно считать, что . В связи с этим таблицы ограничены значениями функции для аргументов или .

4) Максимальное значение функции принимает при и равно .

Любая нормально распределенная случайная величина может быть преобразована в стандартную нормально распределенную случайную величину.

Сравнивая формулы (7.2) и (7.4), можно сделать вывод, что плотность случайной величины, распределенной по нормальному закону, можно записать так:

(7.6)

Математическое преобразование случайной величины в , распределенную по стандартному нормальному закону достигается вычитанием из , а затем делением результата на :

(7.7)

Для того чтобы найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал , необходимо найти определенный интеграл:

Если случайная величина распределена по нормальному закону, то:

Для того, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами для вычисления вероятностей, преобразуем в : . Отсюда , . Найдем новые пределы интегрирования. Если , , если , то :

.

Введем обозначение:

Таким образом, искомая вероятность будет равна:

(7.8)

(интегральная формула Муавра-Лапласа), где ;

; (7.9)

Определение 7.1. Функция распределения случайной величины , распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа по формуле:

(7.10)

(7.11)

– функция Лапласа (рис.7.4). Эта функция табулирована.

Вероятность того, что отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания не превысит величину (по абсолютной величине), равна:

(7.12)

где .

Иногда в таблицах приводится функции Лапласа следующего вида:

(7.13)

Тогда для нахождения вероятности попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, на участок необходимо воспользоваться формулой:

(7.14)

Пример 7.1. Волжский автомобильный завод запускает в производство новый двигатель. Конструкторы двигателя считают, что среднее число километров пробега автомобиля с новым двигателем составляет 160 тыс. км со средним квадратическим отклонением тыс. км. Чему равна вероятность того, что до первого ремонта число километров пробега автомобиля с новым двигателем будет находится в пределах от 100 до 180 тыс. км? Считать число километров пробега нормально распределенной случайной величиной.

Решение:

Воспользуемся формулой (7.8). Стандартизируем величины тыс. км и тыс. км: ; .

.

Таким образом, двигатель будет иметь пробег от 100 до 180 тыс. км с вероятностью 0,72422.

Дата добавления: 2014-01-14