Й учебный вопрос. Парная нелинейная регрессия

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Нелинейные регрессии делятся на два класса:

v регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

v регрессии, нелинейные по оцениваемы параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

· полиномы разных степеней:

;

· равносторонняя гипербола: .

Линеаризация, которая состоит в замене нелинейных объясняющих переменных новыми линейными переменными, приводит нелинейную регрессию к виду линейной. Например, в параболе второй степени: , заменяем переменную х² на z, и получаем двухфакторное уравнение линейной регрессии: .

Полином любого порядка может быть сведен к линейной регрессии с последующим применением методов оценивания параметров и проверки гипотез.

Среди класса нелинейных функций, параметры которых без особых затруднений оцениваются с помощью метода наименьших квадратов (МНК), выступает равносторонняя гипербола: , которая может быть использована, например, для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов и топлива с объемом выпускаемой продукции.

Линеаризация происходит путем замены на z, что приводит к линейному уравнению регрессии вида: .

Регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам представлены ниже:

· степенная – ;

· показательная – ;

· экспоненциальная – .

Степенная функция является примером нелинейной по параметрам регрессии. Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, т.к. включает параметры a и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, так как логарифмирование приводит его к линейному виду: .

При исследовании взаимосвязей среди функций, использующих ln y, в эконометрике преобладают степенные зависимости – это кривые спроса и предложения, кривые освоения для характеристики связи между трудоемкостью продукции и масштабами производства в период освоения выпуска нового вида изделий, а также зависимость валового национального дохода от уровня занятости.

Для оценки параметров степенной функции применяется МНК к линеаризованному уравнению , т.е. решается система нормальных уравнений:

Параметр b определяется непосредственно из системы, а параметр a – косвенным путем после потенцирования величины ln a.

Так как в виде степенной функции изучается не только эластичность спроса, но и предложения, то обычно параметром b<0 характеризуется эластичность спроса, а параметром b>0 – эластичность предложения.

Ниже представлены формулы расчета коэффициентов эластичности.

Вид функции	Точечный коэф. эластичности	Средний коэф. эластичности
Линейная
Парабола
Равносторонняя гипербола
Степенная
Показательная

Уравнение нелинейной регрессии дополняется показателем корреляции, а именно индексом корреляции (0 ≤ ≤ 1):

.

Дата добавления: 2014-01-14