![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Сходимость по вероятности. Закон больших чисел
Определение. Говорят, что последовательность с.в. {x n } сходится по вероятности к с.в. x, если Обозначение: Лемма (признак сходимости по вероятности). Если для последовательности с.в. {x n } Мx n =0, Dx n ®0 при n ®¥, то Пользуясь следствием из неравенства Чебышева и тем, что Мx n =0, получим Теорема Чебышева. Пусть {x n } - последовательность попарно некоррелированных с.в., дисперсии которых ограничены в совокупности: Dx i £ с i =1,2,… Тогда последовательность с.в. Доказательство. Имеем Поскольку Выше, при оценке дисперсии мы использовали тот факт, что для попарно некоррелированных с.в. x1,…, xn дисперсия от суммы равна сумме дисперсий. Действительно,
Поскольку
Следствие 1. Пусть в условии теоремы Чебышева Мx i = а, тогда последовательность с.в. Следствие 2. (теорема Бернулли). Пусть mn –число успехов в серии из n испытаний Бернулли и р – вероятность успеха. Тогда последовательность частот (mn/n) при n®¥ сходится по вероятности к р. Действительно,
Согласно следствию 1 последовательность с.в.
Существуют теоремы, охватывающие более общие случаи, когда з.б.ч. выполняется. Рассмотрим 2 из них. Теорема Маркова. Если последовательность с.в. {x n } такова, что Заметим, что в теореме не требуется некоррелированности с.в. Доказательство. Поскольку Мh n =0 и, согласно условию, Dh n ®0 при n®¥, то, согласно лемме, получаем утверждение теоремы.
Можно иногда не требовать существования дисперсий у случайных величин. Теорема Хинчина. Пусть с.в. последовательности {x n } одинаково распределены, независимы и имеют конечные МО m. Тогда (Без док-ва). 3. Типы сходимости «почти наверное» и «в среднем квадратическом». Усиленный закон больших чисел. То, что последовательность с.в. сходится по вероятности к какому-либо пределу, еще не гарантирует, что разность между пределом и членом последовательности с каким угодно номером достаточно мала. Иногда необходимо иметь более сильное определение сходимости, близкое к тому, которое используется при сходимости последовательности чисел. Определение. Последовательность с.в. {x n } сходится к с.в. x с вероятностью 1 (или «почти наверное») если Теорема (Усиленный з.б.ч.). Пусть {x n } - последовательность попарно независимых с.в. с конечными МО и дисперсиями; Mx i =m, Dx i =s2. Тогда, при (без док-ва) Согласно приведенной теореме, случайная величина, представляющая частоту успехов, с вероятностью 1 сходится к вероятности успеха при числе испытаний n®¥.
В теории вероятностей встречаются и другие типы сходимости, например, сходимость «в средне квадратическом». Определение. Последовательность с.в. {x n } сходится к с.в. x в средне квадратическом при n®¥, если Типы сходимости почти наверное и в средне квадратическом более сильные типы сходимости, чем сходимость по вероятности. Используя неравенство Чебышева
Дата добавления: 2014-01-14; Просмотров: 2113; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |