Выражение векторного произведения векторов через их координаты

Свойства векторного произведения векторов.

1. .

2. .

3. .

4. , т.е. векторный квадрат вектора равен нулевому вектору.

.

5.

Так как и , то

Найдем для начала векторные произведения базисных векторов .

, по свойству 4 векторного произведения векторов.

, так как:

1. и ;

2. ;

3. , , - правая тройка векторов.

Тогда , по свойству 1 векторного произведения векторов.

Рассуждая аналогичным образом, получаем таблицу векторных произведений базисных векторов .

Чтоб не ошибиться со знаком удобно пользоваться схемой выше: если направление кратчайшего пути от первого вектора ко второму совпадает с направлением стрелки, то векторное произведение равно третьему вектору, взятому со знаком “”, а если не совпадает, то со знаком “”.

Пусть заданы два вектора и .

Найдем векторное произведение , перемножая их как многочлены и пользуясь таблицей векторных произведений базисных векторов .

Полученную формулу нахождения координат векторного произведения через координаты векторов и можно записать короче и легче для запоминания:

,

так как, если этот определитель разложить по первой строке, то он будет равен выведенной нами формуле.

Например, найти , если и .

Решение:

.

Некоторые приложения векторного произведения векторов.

Площадь параллелограмма и треугольника.

Напомним формулу площади параллелограмма:

, где

Напомним формулу площади треугольника:

, где

Согласно определению векторного произведения векторов и имеем:

.

Таким образом, .

Итак, и , т.е.

Дата добавления: 2014-01-14