Формула Планка

В 1900г. Планку удалось найти вид функции в точности, соответствующий опытным данным. Но для этого ему пришлось сделать предположение, совершенно чуждое классическим представлениям, а именно допустить, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии e (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения. А именно: . Здесь - постоянная Планка, =1,054×10^-34Дж×с. , поэтому h=6,62×10^-34Дж×с.

В основе рассуждений, приводящих к определенному Планком виду функции спектрального распределения , лежит выражение для средней энергии излучения с частотой w, которая вычисляется согласно следующей формуле:

(*)

Если бы энергия могла принимать непрерывный ряд значений, то ее среднее значение было бы равно . В этом можно убедиться, положив , что выполняется тем точнее, чем меньше (т.е., чем больше l).

Заменив в формуле Рэлея-Джинса kT выражением (*), получим формулу, найденную Планком:

Получим выражение для средней энергии излучения частоты w, исходя из представлений Планка об испускании электромагнитного излучения в виде квантов энергии.

Если излучение испускается квантами (порциями) , то энергия e_n должна быть кратной этой величине, т.е.

, (n=0, 1, 2, 3,…).

Согласно закону Больцмана вероятность P_n того, что энергия излучения имеет величину e_n, определяется выражением:

.

Нормировочный множитель A можно найти, исходя из условия, что сумма всех P_n должна быть равна единице. Действительно, сумма P_n представляет собой вероятность того, что энергия имеет одно из возможных для нее значений. Такое событие является достоверным и, следовательно, имеет вероятность, равную единице. Итак, .

Тогда, найдя значение A, получим, что .

Предположив возможность измерения значения энергии данной спектральной составляющей излучения в любой момент времени, произведем через равные промежутки времени очень большое число таких измерений N. Разделив сумму полученных значений на число измерений N, найдем среднее по времени значение энергии . При очень большом N количество измерений N_n, которые дадут результат e_n, будет равно NP_n. Поэтому

.

Следовательно, среднее значение энергии излучения частоты w будет определяться следующим выражением:

.

Дальнейшие вычисления легко провести, приняв, что , тогда

.

Выражение, стоящее под знаком логарифма, представляет собой сумму членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом, равным единице и знаменателем прогрессии, равным . Поэтому по известной из алгебры формуле . Учитывая этот результат, имеем после дифференцирования

.

Наконец, заменив x его значением , получим окончательное выражение для средней энергии излучения частоты w:

.

Переходя к длинам волн формулу Планка можно записать в виде:

.

Заметим, что при выполнении условия квантовая формула Планка переходит в классическую формулу Рэлея-Джинса. Следовательно, условие малости кванта энергии по сравнению с величиной определяет границы применимости классической теории. Если нельзя считать , то использование формулы Рэлея-Джинса незаконно и для описания свойств теплового излучения нужно применять формулу Планка.

Применим формулу Планка для вывода законов Стефана-Больцмана и закона смещения Вина.

1) Энергетическая светимость абсолютно черного тела R_э:

.

Пусть , тогда и . Сделав такую замену, получаем: . Значение интеграла , поэтому . Обозначив , получаем закон Стефана-Больцмана: . А подставив в формулу числовые значения для p, k, c, , получаем, что s=5,6696×10^-8Вт/(м²×град⁴), что очень хорошо согласуется с экспериментальным значением.

2) Для вывода закона смещения Вина воспользуемся связью между функциями и .

Участку спектра dw соответствует интервал длин волн dl. Определяющие один и тот же участок спектра величина dw и dl связаны простым соотношением, вытекающим из формулы: . Дифференцирование дает . Знак “-“ можно не учитывать в дальнейших вычислениях, он лишь указывает, что с возрастанием l частота w убывает и наоборот.

Если интервалы dw и dl относятся к одному и тому же участку спектра, то величины dR_э и dR_l должны совпадать, т.е.

или

(D)

Для абсолютно черного тела , тогда аналогично формуле (D) получаем - формулу связи функций и .

Отсюда . Видно, что функция зависит от l и от w. Выразим эту функцию через l, учтя, что .

Тогда имеем

.

Далее возьмем первую производную функции по l и приравняем ее нулю (условие экстремума).

Удовлетворяющие этому уравнению значения l=0 и l=¥ соответствуют минимуму функции . Значение l_m, при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в числителе в квадратных скобках. Обозначим , получим уравнение: .

Решение этого трансцендентного уравнения дает значение x=4,965. Следовательно, . Откуда - закон смещения Вина. Подстановка числовых значений p, c, k, дает значение для b=2,9×10³(мкм×К).

Таким образом, формула Планка дает исчерпывающее описание равновесного теплового излучения.

САМОСТОЯТЕЛЬНО: Оптическая пирометрия, Типы пирометров: радиационные, яркостные, цветовые; принцип действия.

Дата добавления: 2014-01-14