Несобственные интегралы. Согласно теореме существования определенный интеграл существует, если выполняются два условия:

Согласно теореме существования определенный интеграл существует, если выполняются два условия:

1) [ a, b ] – конечный интервал; 2) - непрерывная функция.

Если же одно из отмеченных условий не выполняется, то говорить об определенном интеграле как о пределе n - ой интегральной суммы мы не можем, поскольку такой предел может не существовать. В этом случае мы имеем дело с так называемыми несобственными интегралами. Различают несобственные интегралы с бесконечными пределами и несобственные интегралы от разрывных функций.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Несобственным интегралом от функции на интервале [ a,)называется предел интегралапри : .

Если при этом подчеркнутый предел существует, то говорят, что несобственный интеграл - сходится. В противном случае говорят, что несобственный интеграл расходится.

Если , то схема отыскания несобственного интеграла следующая:

Интегралы и

находятся аналогично.

Геометрический смысл несобственного интеграла

Если несобственный интеграл сходится, то можно говорить, что заштрихованная (бесконечная вправо) фигура (Рис. 10) имеет площадь равную этому интегралу.

Рис. 10

Если же интеграл расходится, то говорить о площади фигуры нельзя.

Признаки сходимости – расходимости

Часто бывает достаточно установить сходится рассматриваемый несобственный интеграл или расходится и в случае сходимости оценить его значение. Эти обстоятельства помогают выяснить следующие признаки сравнения.

1. Если

и при этом .

2. Если .

Эти свойства нетрудно понять из рис. 11.

Рис. 11

Несобственные интегралы от разрывных функций

Если - непрерывная функция для всех и (рис. 12), то - несобственный интеграл, который определяется, как предел интеграла () при :

.

При этом если предел, стоящий в правой части последнего соотношения, существует и конечен, то говорят, что рассматриваемый несобственный интеграл сходится. В противном случае интеграл расходится.

Рис. 12

Если , то схема вычисления рассматриваемого несобственного интеграла следующая:

.

Аналогично, если - непрерывная функция для всех и (Рис. 13), то - несобственный интеграл.

Рис.13

В этом случае: .

В случае же, когда - непрерывна для и и , то - несобственный интеграл, который вычисляется по следующей схеме: .

Признаки сходимости здесь можно записать по аналогии с признаками сходимости для интеграла с бесконечными пределами.

П р и м ер. Вычислить несобственный интеграл , где - любое действительное число, или доказать что он расходится.

Р е ш е н и е.

Таким образом, рассматриваемый несобственный интеграл I расходится при и сходится при .

П р и м е р. Вычислить несобственный интеграл или доказать что он расходится.

Р е ш е н и е.

=+=

=+=

=

.

Таким образом, рассматриваемый несобственный интеграл сходится и равен .

Дата добавления: 2014-01-14