ЛЕКЦИЯ 5. 8. Предельный переход в неравенствах

8. Предельный переход в неравенствах

Теорема 8.1. Если в некоторой проколотой окрестности точки функции и связаны неравенством и в точке имеют пределы , , то .

Доказательство. Пусть в проколотой - окрестности точки функции и связаны неравенством

. (8.1)

Положим тогда в силу (8.1)

(8.2)

при всех . Так как и в точке имеют пределы А и В соответственно, то по теореме 7.4 функция в точке имеет предел

. (8.3)

Докажем, что . Допустим, что . По определению предела (8.3) для существует такое, что при всех справедливо неравенство или . Отсюда

(8.4)

при всех . Обозначим через наименьшее из и . Тогда при всех одновременно имеют место неравенства (8.2) и (8.4), что невозможно. Следовательно, или .

Теорема 8.2. Если в некоторой проколотой окрестности точки функции , и связаны неравенствами и в точке функциии имеют один и тот же предел А, то и .

Доказательство. Пусть

(8.5)

при всех и

. (8.6)

Из (8.5) получаем

(8.7)

и

. (8.8)

Если , то и в силу (8.7)

. (8.9)

Если же , то и согласно (8.8)

. (8.10)

Итак, на основании (8.9) и (8.10)

(8.11)

для всех . Зафиксируем любое . В силу (8.6) для выбранного найдутся и , такие что

(8.12)

при всех и соответственно. Положим . Тогда на основании (8.11) и (8.12) для всех , т.е. .

Теорема 8.3. Если то существует такая проколотая окрестность точки , в пределах которой .

Доказательство. Рассмотрим случай (для рассуждения аналогичны).

Пусть

(8.13)

где А>0. Положим . По определению предела (8.13) для выбранного существует такое, что

. (8.14)

При всех . Неравенство (8.14) равносильно , откуда в указанной окрестности , что и требовалось доказать.

Дата добавления: 2014-01-14