Правила дифференцирования функций одной переменной

Классификация точек разрыва функции одной переменной

Точка а называется точкой разрыва функции , если в этой точке нарушается условие непрерывности , т.е. или 1) не определена в точке а, или 2) существует, но не равен , или 3)не существует.

Определение 13.1. Точка разрыва а функции называется точкой разрыва первого рода этой функции, если в этой точке существуют оба односторонних предела и . В частности, при условии =точка разрыва первого рода называется точкой устранимого разрыва.

Разность называется скачком функции в точке а. В случае устранимого разрыва скачок равен нулю. Если же разрыв первого рода неустраним, то скачок отличен от нуля. В случае точки устранимого разрыва предел в этой точке существует, но либо не равен , либо в точке а не определена. Если же в точке разрыва первого рода разрыв неустраним, то в этой точке предел не существует.

Определение 13.2. Точка разрыва а функции называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример. 1) . Точка х=0 является точкой разрыва , так как в этой точке функция не определена. В силу первого замечательного предела . Отсюда по теореме 5.2. в точке х=0 функция имеет оба односторонних предела, равных между собой. Значит, х=0 есть точка устранимого разрыва. Этот разрыв можно устранить, если функцию в точке х=0 доопределить, положив . (см. рис. 13.1)

Рис. 13.1

2) .

Вычислим односторонние пределы этой функции в точке : , . Оба односторонних предела существуют, значит х=0 есть точка разрыва первого рода. Так как пределы неравны, то устранить разрыв нельзя (см. рис.13.2)

Рис. 13.2

Рис. 13.3

3) . Поскольку в точке х=0 оба односторонних предела не существуют, точка х=0 является точкой разрыва второго рода (см. рис.13.3).

Теорема 5.1. Если функции и дифференцируемы в точке х, то их сумма, разность, произведение и частное (частное при условии, что ) также дифференцируемы в этой точке, причем

, , , .

Доказательство. Рассмотрим случай произведения. Пусть . Обозначим символами , и приращения функций , и в точке х, соответствующие приращению аргумента , т.е.

, , .

Тогда после простых алгебраических преобразований будем иметь

.

Отсюда при

. (5.1)

Пусть теперь . Тогда в силу дифференцируемости функций и в точке х существуют предельные значения разностных отношений и , соответственно равные и . Далее, в силу теоремы 3.4, из дифференцируемости функции в точке х следует непрерывность в этой точке, поэтому . Таким образом, существует предельное значение правой части (5.1) при , равное . Следовательно, существует предельное значение и левой части (5.1), равное по определению производной . Это значит, что функция дифференцируема в точке х и ее производная определяется формулой .

Остальные утверждения теоремы 5.1 доказываются аналогично.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

В самом деле, используя правило дифференцирования произведения и формулу , где (см. пример в п. 1), находим

.

Дата добавления: 2014-01-14