Знакопеременные ряды

1. Абс и условная сх. Пусть - знакопеременный ряд, он наз абс сх если сх ряд . Если ряд абс сх, то он сх, это следует из принципа Коши (показать), обратное неверно. Ряд наз условно сх, если он сх, а ряд рсх.

2. Знакочередующиеся ряды. Ряд наз знакочередующимся, если . Такой ряд удобно записывать в виде .

Теорема (признак Лейбниц) Если , то ряд сх.

· частные суммы возрастают и ограничены сверху, и значит, имеют предел, частные суммы с нечетными номерами имеют тот же предел.

Следствие об остатке ряда Лейбница: все, что мы отбрасываем (остаток) по модулю ≤ первого из отбрасываемых и имеет тот же знак.

Функциональные последов и ряды.

1. Основные понятия. Пусть , например , функциональной последовательностью на E наз правило, которое ставит в соответствие фун на E. Пр. .

ФП сх на множестве E, если , наз предельной функцией. Пр. .

Пусть −ФП на E, выражение наз. фун. рядом, − ФП частных сумм. Ряд сх на E если , фун наз суммой ФР. Пр. .

Пусть на E, это означает, что . Если N не зависит от x, то сходимость наз равномерной: если .

Подобным образом ряд сх на E равномерно, если равномерно сх на E. Пр. сх. равномерно.

2. Принцип Коши равномерной сходимости.

Функциональный ряд сх. равномерно на E :

.

С помощью принципа Коши получим признак Вейерштрасса.

Если и ряд сх, то ряд сх равномерно на E.

Пр.

3. Фун. свойства предельной фун. и суммы ряда ( )

1) Непр. предельной фун.: непр. и на Þ f непр. на

2) Предельный переход под знаком инт: непр и на

Þ

3) Предельный переход под знаком производной непр , на и

равномерно сх на Þ на множестве

·

4) Непр. суммы ряда. Все непр. на множестве и ряд сх. равномерно на Þ непр на множестве .

5) Интегрирование суммы ряда. Все непр на множестве и сх равномерно на Þ .

6) Дифференцирование суммы ряда Все непр на ,ряд сх на и сх. равномерно на Þ .

Дата добавления: 2014-01-14