Степенные ряды. 1 Определение.Ряд вида наз степенным рядом в точке x0 , − заданная последовательность; СР определен на всей прямой; будем считать

1 Определение. Ряд вида наз степенным рядом в точке x₀, − заданная последовательность; СР определен на всей прямой; будем считать, что . СР сх в нуле.

2 Теорема о сх СР. Для всякого степенного ряда справедливо одно из следующих утверждений:

1) ряд рсх всюду кроме нуля,

2) такое, что при ряд сх. абс., а при ряд рсх.,

3) ряд сх. абс. на всей прямой.

· Следует из леммы Абеля: Если СР сх в т , то он сх абс : .

Число R наз. радиусом сх., промежуток интервалом сх.

Если в 1) положить , а в 3) , то .

Формулы для радиуса сх.: , , если пределы существуют. Пр.

3. Свойства суммы степенного ряда

1) Сумма степенного ряда непр. на интервале сх.

2)

3)

4) Сумма степенного ряда ∞ диф в интервале сх.

4 Ряды Тейлора и Маклорена. Пусть f ¥ диф в т. x₀, тогда степенной ряд наз. РТ f в т. x₀, а ряд − РМ f. Предположим, что f разлагается в степенной ряд в точке x₀, т.е. , тогда f ∞ диф. в интервале, а степенной ряд является рядом Тейлора f.

Рассмотрим возможность разложения фун. в СР. Для этого необходима сходимость РТ f. Однако даже при условии сх., сумма может не совпадать с f.

Теорема о разложении. Пусть f ∞ диф. в , и ,, тогда f разлагается в РМ на .

· использовать формулу Тейлора.

5 Разложение основ фун в РМ , , , , .

6 Приложение степенных рядов.

1) Значения фун.: число e;

2) Выч. инт ;

3) Решение ЛДУ: .

Дата добавления: 2014-01-14