Задачи для самостоятельного решения

Объем тела вращения.

Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений.

Волгодонск

Лекция № 18

«Приложение определенных интегралов к вычислению объёма тел».

2011

Пусть дано некоторое тело и известно, что площадь поперечного сечения плоскости перпендикулярна оси OX. Разобьем тело на части плоскостями x=x_i перпендикулярными оси OX. Отрезок [a,b], лежащий на оси OX, разобьется соответственно точками x_i на n частей: a=x₀<x₁<x₂<…<x_n=b. Dx_i = x_i+1 – x_i - длина [x_i; x_i+1]. В каждой точке x принадлежащей отрезку [a,b] известно поперечное сечение этого тела, то есть площадь поперечного сечения является функцией от x(S(x)). На i -ом отрезке выберем произвольную точку с_i и заменим объем i части тела объемом прямого цилиндра V_i = S_осн× высоту=S(с_i) ×Dx_i; объем тела приближенно равен сумме объемов прямых цилиндров V_T». Причем равенство будет, вообще говоря, тем точнее, чем мельче будет разбиение. Переходя к пределу, получаем V_T =. Этот предел интегральных сумм является определенным интегралом, где S(x) – площадь поперечного сечения.

Определение: Если криволинейная трапеция ограничена линиями y=0; x=a; x=b; y=f(x), где f(x)³0 вращается вокруг оси OX, то полученное тело называется телом вращения вокруг оси OX.

Как известно, объем тела выражается через площадь поперечного сечения по формуле:. В данном случае поперечными сечениями являются круги радиусом R_кр=f(x); S_кр=S(x) = pf²(x) ÞV_OX =.

Если фигура, ограниченная кривыми y₁=f₁(x) и y₂=f₂(x) [0 ] и прямыми x=a, x=b, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения

Если криволинейная трапеция ограниченная линиями вращается вокруг оси OY, то объем полученного тела вращения V _OY=

Пример: Вычислить объем тела вращения, ограниченного линиями y=0; x=0; x=1; y=e^x.

х

y

Вопросы для самоконтроля:

1.Объем тела вращения, если ось вращения – ось Ох.

2.Объем тела вращения, если ось вращения – ось Оу.

1.Фигура, образованная дугами парабол y = u, вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем тела вращения.

2.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями х²=у, =у.

3.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у=.

4.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми у= и у=х².

Решение типовых задач:

Пример 1. Криволинейная трапеция, ограниченная координатными

осями, прямой и кривой вращается вокруг: а) оси абсцисс;

б) оси ординат. Найти объем полученных тел вращения.

Решение: а) Ясно, что

.

б) На рис.1 изображено тело, объем которого мы будем находить.

Так как, то изменяется в интервале. Кроме того, надо явно выразить x через y. Так как, то отсюда. Тогда

Вычисление интегралов производилось с помощью формулы интегрирования по частям.В первом случае мы полагали

,а во втором случае -.

Рис.1

Дата добавления: 2014-01-15