Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Признаки сходимости несобственных интегралов




Несобственные интегралы второго рода(от неограниченных функций).

Несобственные интегралы первого рода (по бесконечному промежутку).

Несобственные интегралы.

Волгодонск

ЛЕКЦИЯ №19

«Несобственные интегралы»


 

До сих пор мы рассматривали, как в предположении, что промежуток интегрирования конечен, а подынтегральная функция непрерывна (или кусочно-непрерывна). Обобщим понятие интеграла на случаи бесконечных промежутков интегрирования, а также на случаи, когда у функции на промежутке интегрирования существуют точки разрыва второго рода.

Определение: Пусть функция непрерывна на промежутке, тогда очевидно, что при любом имеет смысл интеграл. Будем расширять промежуток, увеличивая. Тогда, если существует предел:

, то этот предел называется несобственным интегралом от функции по бесконечному промежутку и обозначается.

Отметим, что если указанный предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся (говорят, что он сходится). В противном случае (если предел бесконечен или не существует) говорят, что расходится.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла по промежутку.

Определение: Несобственный интеграл определяется как следующая сумма несобственных интегралов:

= +.

Отметим, что легко показать, что так определенный интеграл не зависит от выбора точки. Этот интеграл называется сходящимся, если сходящимися являются интегралы и, в противном случае он называется расходящимся.

Примеры:

1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:

а) = = = =

= = =

б) = = = = (интеграл расходится)

в) = = = Поскольку последний предел не существует, то интеграл расходится.

 

 

Предположим теперь, что функция непрерывна на, за исключением точки, в которой она терпит разрыв второго рода, и рассмотрим три случая:

а).

Возьмем произвольное, но достаточно малое (чтобы выполнялось неравенство) положительное и положим, по определению, = Если указанный предел существует, то называется несобственным интегралом второго рода по промежутку.

б).

Как и в предыдущем случае определим несобственный интеграл, положив:

=.

Отметим, что вся терминология, связанная с определением сходимости и расходимости несобственных интегралов второго рода полностью переносится с соответствующих определений, данных для интегралов первого рода.

Наконец, третий случай:

в)

В этом случае полагаем:

= +

При этом будем считать, что последний несобственный интеграл сходится, если сходятся слагаемые, определяющие этот интеграл. Ясно, что,

= +.

Пример.

= = = =

=




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 641; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.007 сек.