Теорема. Теорема (предельный признак сравнения)

Теорема (предельный признак сравнения).

Теорема (признак сравнения).

Если на промежутке непрерывные функции и удовлетворяют условию для, то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла, а из расходимости следует расходимость.

Доказательство. Предположим, что интеграл сходится и равен, тогда для любого будет выполняться неравенство: и, следовательно, будут выполняться неравенства:. Если теперь на интеграл смотреть как на функцию от, то эта функция будет монотонно возрастающей на бесконечном промежутке и ограниченной на этом промежутке. Следовательно, она имеет конечный предел:, то есть интеграл сходится.

Если теперь интеграл расходится, то возрастающая функция стремится к при. Но тогда, тем более, будет стремиться к и функция, так как. То есть интеграл будет расходиться.

Достаточно просто доказываются и следующие две теоремы (два критерия сходимости):

Если на промежутке функции и непрерывны и неотрицательны, а предел их, где - число, не равное нулю, то оба несобственных интеграла и либо сходятся, либо расходятся одновременно.

Мы не будем приводить доказательство этой теоремы, а укажем только направление рассуждений для организации доказательства.

Указание. Если выбрать настолько малым, чтобы окрестность не содержала, то для «больших» будет выполняться неравенство, или и остается воспользоваться первым признаком сравнения.

Если функция непрерывна на промежутке и интеграл сходится, то сходится и интеграл.

Доказательство: Рассмотрим две функции:

и.

(заметим, что функция совпадает с функцией в тех точках, где последняя положительна, и равна нулю в остальных точках, а функция совпадает с функцией в тех точках, где она отрицательна, и равна нулю в остальных точках).

Очевидно, что. Воспользовавшись теоремой сравнения (в нашем случае и), можно утверждать, что интегралы и, а значит и сходятся. Но тогда будет сходиться и интеграл, поскольку для него справедливо равенство:

= +

Проверка последнего равенства осуществляется заменой интегралов по бесконечному промежутку соответствующими пределами.

Отметим, что если вместе с интегралом сходится и интеграл, то интеграл называется абсолютно сходящимся, в противном случае (если сходится только интеграл) он называется условно сходящимся.

Аналогичные теоремы можно сформулировать как для несобственных интегралов первого рода по промежуткам и, так и для несобственных интегралов второго рода (сформулировать!).

Вопросы для самоконтроля.

1. Дайте определение несобственного интеграла по промежутку.

2. Дайте развернутое определение интеграла второго рода для случая, когда.

3. Сформулируйте признаки сходимости несобственных интегралов первого рода по промежуткам и.

4. Провести полное доказательство предельного признака сравнения.

5. Провести строгое доказательство равенства:

= +,

приведенного в третьем признаке сходимости.

6. Сформулируйте признаки сходимости несобственных интегралов второго рода.

Задачи для самоконтроля.

Вычислить следующие несобственные интегралы или установить их расходимость:

а) (отв.:); б) (отв.: -1); в) (отв.: расх.);

г) (отв.:): д) (отв.: расх.); е) (отв.:).

Решение типовых задач.

Задача. Выяснить, сходятся или расходятся данные интегралы:

Решение: 1. По определению

Следовательно, интеграл расходится.

Дата добавления: 2014-01-15