Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Определение: Плоскость, в которой распложены все касательные к линиям на поверхности, проходящим через точку касания M₀, называется касательной плоскостью к поверхности в точке M₀.

Определение: Нормалью к поверхности называется прямая перпендикулярная касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Так как нормаль перпендикулярна касательной плоскости, то в качестве направляющего вектора можно взять вектор нормали к касательной плоскости (координаты вектора нормали - это частные производные.)

Тогда уравнение нормали имеет вид: ;

То есть если уравнение поверхности задано в виде z=f(x,y), точка M₀(x₀,y₀) и f(x₀,y₀) принадлежат поверхности, точка M₀ – точка касания, тогда уравнение касательной плоскости имеет вид: .

А в случае поверхности, заданной уравнением вида F(x,y,z)=0, уравнение касательной плоскости имеет вид: , где

точка M₀(x₀,y₀,z₀) – точка касания.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Пример: Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке M₀(1,2,-1).

Решение:

Преобразуем:

Найдем значения частных производных в заданной точке(это координаты вектора нормали к плоскости):

; ;

Уравнение плоскости имеет вид:

2(x-1)+4(y-2)-2(z+1)=0

Или иначе (раскрыв скобки и приведя подобные):

2x+4y-2z-8=0

Дата добавления: 2014-01-15