Семейство кривых распределения Джонсона

Это семейство включает три типа кривых, представляющих распределение неограниченных случайных величин (тип SU), ограниченных с одной стороны (SL) и ограниченных с двух сторон (SB).

В общем виде семейство кривых Джонсона требует знания параметра положения x, параметра масштаба l и двух параметров формы - g и d.

Тип SL. Кривая распределения ограничена слева точкой x, а значения x ³x. Этот тип распределения зависит только от трех параметров d, x и g*. Плотность распределения для нормированных значений величины x путем замены y =(x -x)/l имеет следующий вид (y ³0):

(1)

В практике использования типа SL может встретиться два случая:

величина x известна;

величина x неизвестна.

В большинстве задач по аппроксимации кривых распределения величина x, как правило, может быть определена нижней границей первого класса ряда распределения.

Если значение x неизвестно, то из формулы преобразования исходного распределения с плотностью f (x) к нормированной нормально распределенной величине z имеем:

. (2)

Так как по выборке необходимо оценить параметры g*, d и x. Для чего составляют три уравнения, приравнивающих три выборочных квантиля трем соответствующим квантилям нормированной нормально распределенной величины z

, (3)

где z _a и x _a - соответственно теоретические и выборочные квантили.

Целесообразно выбирать два симметричных квантиля, что упрощает расчеты, в противном случае приходится решать нелинейное уравнение. Вполне приемлемо брать a=0,05; 0,5 и 0,95 (выбор других близких квантилей мало меняет результаты). Так как для нормированного нормального распределения |z_0,05| = |z_0,95| = 1.64, z_0,5= 0, решением системы трех уравнений (4) находят:

, (4)

, (5)

. (6)

Рассмотрим технику вычисления выравнивающих частот по уравнению типа SL на примере аппроксимации при неизвестном x.

Х(i)	xi=c/2+xi	ni	Накоп- ленная частота	Накоп- ленная частота, %	Z	F(zi)	sum(n i)	n i	Эмпирии- ческая частота (n)	Теорети- ческая частота (n)	(n- n)^2/ n
				2,8	-1,86	0,03	12,38	12,38		12,4	0,15
				10,4	-1,25	0,11	41,91	29,53		29,5	0,01
				24,4	-0,67	0,25	98,46	56,55		56,5	0,04
				44,4	-0,14	0,44	174,92	76,47		76,5	0,08
				64,2	0,36	0,64	252,42	77,50		77,5	0,00
				78,7	0,83	0,80	314,18	61,76		61,8	0,37
				89,1	1,28	0,90	354,41	40,23		40,2	0,01
				95,7	1,70	0,96	376,52	22,11		22,1	0,69
				98,5	2,10	0,98	387,04	10,52		10,5	0,02
			N = 394		2,49	0,99	391,47	4,43		4,4	0,56
Рассчитанное значение Х2-Пирсона	1,94
Табличное значение Х2-Пирсона	2,17

В столбец 1 таблицы 1 вписываем середины классовых промежутков Х. Во 2-ом столбце вычисляем верхние границы классовых промежутков. В 3-ем столбце вписаны частоты ряда распределения, в 4-ом рассчитывается их накопление. 5-ый столбец также содержит накопление частот, выраженное в процентах от общего числа N.

По данным столбцов 2 и 5 строим огиву ряда распределения, с которой снимаем значения квантилей, соответствующие вероятностям a, равным 0,05, 0,5 и 0,95. Они соответственно составляют 7,4; 19,1 и 33,4. При использовании этих данных по формулам (4)-(6) рассчитываются параметры ряда распределения d, g* и x:

;

;

;

;

Прежде чем приступить к вычислению теоретических частот по вычисленным выборочным оценкам, по формуле (2) [ z= g*+ d×ln(x_p-x) ] определяют нормированные нормально распределенные случайные величины (z_i) и записывают их в столбец 6. По таблицам F (z) или непосредственно в пакете прикладных программ (в MS Excel с помощью функции F(z_i) = НОРМСТРАСП (z_i)) находим накопленную вероятность, соответствующую верхним границам классов ряда распределения и заносят данные в столбец 7.

В столбце 8, путем умножения величин столбца 7 на общее количество наблюдений (N), находят теоретические накопленные частоты ряда распределения. В 9-ом столбце производится вычисление частот по классам.

Правильность расчета теоретических частот ряда проверяют по величине χ²-Пирсона как сумму величин (n- n)²/ n (столбец 12). В случае (χ²_р) < (χ²₀₅) Нулевая гипотеза (Н₀) - принимается, т.е. различие между эмпирическим и теоретическим распределениями не достоверно.

Дата добавления: 2014-01-15