Твердом теле вдоль оси х, можно записать в виде

Плоскую волну, распространяющуюся в однородном

Пусть нами возбуждена бегущая по цепочке плоская волна

Одномерная цепочка одинаковых атомов, находящихся на одинаковом расстоянии -(Линейная цепочка).

Физическая модель фононов

Аналогичные соображения справедливы и в случае электропроводности. Коллективную модель для электронов можно построить методами квантовой механики. Отдельный электрон при этом уже нельзя рассматривать как изолированную частицу, движущуюся в решетке из атомов. Совокупность электронов представляется волнами, из которых можно образовать волновые пакеты. Последние распространяются по кристаллу так, как если бы ионов почти совсем не было. Здесь снова возникает трудность в объяснении сопротивления (если не говорить о рассеянии на примесях). Ее можно преодолеть, если учесть взаимодействие между электронами и тепловыми колебаниями, которые нарушают идеальность решетки. Дальнейшему обсуждению этих вопросов, приводящему к теории электропроводности полупроводников н металлов.

Преимущество коллективных моделей состоит в том, что возбуждения оказываются сходными с частицами газа. Это позволяет легко ввести такие понятия, как «функция распределения по скоростям», «длина свободного пробега» и т. д., столь хорошо знакомые нам из классической кинетической теории газов. Заметим, однако, что при этом появятся характерные и существенные модификации. В частности, при низких температурах, когда возбуждений довольно мало, длина свободного пробега может стать очень большой — даже сравнимой с макроскопическими размерами образца.

Кристалл содержит атомы (или молекулы) в узлах кристалла, которые колеблются. На примере одномерной цепочки разберемся как можно математически описать эти колебания и какова возможная интерпретация получающихся математических формул. Будем считать, что кристалл обладает упругими свойствами, а это значит, что вызывая колебание одного атома, мы возбудим колебания во всей цепочке, в ней будет распространятся механическая волна, ее назовем падающей. Если кристалл ограничен, то волна отразится от границы, возникнет отраженная волна, которая будет интерферировать с падающей. В результате при определенных частотах будут возникать стоячие волны. Мы это видели в лаб/р по колебаниям закрепленной струны.

(1)

[ Напоминаю, что здесь записана гармоническая функции, т.к. по формуле Муавра exp(ix)=cosx+isinx, отсюда Re(u)=Acos(kx-𝜔t)]

где u — смещение, А — амплитуда, k — волновой вектор и 𝜔 — угловая частота.

Рассмотрим линейную цепочку одинаковых атомов (рис. 1), имеющих массу m и расположенных на расстоянии а один от другого.

Рис. 1. Пять соседних атомов в линейной одноатомной решетке, а — атомы находятся в равновесных положениях; б — атомы смещены вследствие прохождения продольной волны.

Для этой последовательности атомов создаваемое волной (1) смещение u имеет смысл только в точках расположения атомов и не имеет смысла в

промежуточных точках х. Таким образом, смещение r-го атома запишется в виде

(2)

Дифференцируя это выражение два раза, получаем ускорение r-го атома:

(3)

Согласно второму закону Ньютона, возвращающую силу,

действующую на r-й атом, можно записать в виде

(4)

Для установления закона дисперсии, т.е. связи между 𝜔 и k эту возвращающую силу необходимо выразить через силовую постоянную, характеризующую смещения атомов в кристаллической решетке.

Для этого представим нашу линейную цепочку в виде шариков, связанных пружинками. В этой модели возникающая при растяжении или сжатии возвращающая сила, действующая на атом, линейно зависит от расстояния до ближайших соседей (с коэффициентом пропорциональности μ) и не зависит от

положения более удаленных атомов. Следовательно, возвращающая сила подчиняется закону Гука

На первый взгляд кажется, что эта модель не может соответствовать сложному квантово- механическому характеру взаимодействия между атомами. Однако следует напомнить, что для большинства твердых тел в случае малых деформаций выполняется закон Гука, устанавливающий линейную связь между смещением и приложенной силой.

В приближении закона Гука сила, действующая на r-й

атом на рис. 1, имеет вид

(5)

Сравнивая этот результат с выражением (4)

(4),

получаем

(6)

Подставляя сюда выражение (2) для смещения,

(2)

последнюю формулу можно переписать в виде

Дисперсионное уравнение – форма 1 (7)

Таким образом, дисперсионное уравнение для продольных волн, которые могут распространяться в линейной одноатомной цепочке, при учете взаимодействия только с ближайшими соседями запишется как

Дисперсионное уравнение – форма 2 (См. рис 2)

(8)

Знаки плюс и минус в выражении (8) отвечают волнам, распространяющимся в противоположных направлениях.

Движение в любой точке решетки является периодическим во времени.

На рис. 2 представлена дисперсионная кривая, построенная в соответствии с уравнением (8). Эта кривая качественно подобна той, которую можно получить с учетом зависимости возвращающей силы от расстояний не только до ближайших, но и до более удаленных соседей (см. задачу Л7-1).

Рис. 2. Дисперсионная кривая для продольной волны, распространяющейся в линейной моноатомной решетке; получена с учетом взаимодействия только ближайших соседей [выражение (8)]. Область k-пространства, для которой |к|<<π/а, образует первую зону Бриллюэна. По оси ординат отложена безразмерная частота в единицах максимальной угловой частоты, для которой величина к вещественна, 𝜔_m=(2μ/m)²=2(v₀/a). Поскольку звуковые волны в кристаллах распространяются, как правило, со скоростью v₀5000 м/с, эта максимальная угловая частота имеет порядок 𝜔_m ~10¹⁴ рад/с. ЭТО ДИСПЕРСИОННАЯ КРИВАЯ ДЛЯ АКУСТИЧЕСКИХ ФОНОНОВ

АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ – одноатомная цепочка

В качестве независимой переменной на рис. 2 вместо длины волны λ выбран волновой вектор к, что более удобно (как мы увидим при разборе других задач физики твердого тела).

Область малых к соответствует спектральному диапазону (длинных волн, для которых вполне годится макроскопическое рассмотрение распространения звуковых волн. В случае когда kа<<1, мы можем положить sin (ka/2) ka/2. При этом соотношение между угловой частотой и волновым вектором принимает вид

(9)

В области больших длин волн или низких частот дисперсия отсутствует, так что фазовая скорость и групповая скорость совпадают и оказываются равными скорости звука v₀. Скорость v₀ =(μ/m)^1/2 , полученная для больших длин волн согласно этой модели, полностью согласуется с выражением для непрерывной упругой среды.

Даже в рамках грубой одномерной модели, если известна скорость v₀ обычных звуковых волн в твердом теле, то можно рассчитать межатомный коэффициент жесткости по формуле

(9.1)

Рассматриваемое на данном этапе низкочастотное приближение справедливо вплоть до частот 10¹² Гц или около того, что перекрывает так называемый акустический» или «ультразвуковой» диапазон частот, в котором работают экспериментальные монохроматические установки.

Однако из рис. 2 мы видим, что по мере перехода ко все более коротким волнам величина 𝜔 достигает предельного значения 𝜔_m

𝜔_m=(2μ/m)²=2(v₀/a), когда. (10)

Дата добавления: 2014-01-15