Систем управления

Понятие о математических моделях

Оператор системы. Характеристики элементов систем управления могут быть заданы аналитически, графически или в виде таблиц, которые позволяют определить поведение элемента или системы в любой момент времени.

Для составления математической модели, как правило, необходимо проделать три этапа:

1. Выделить физические величины, которые наиболее полно и правильно отражают поведение элемента.

2. Исходя из физической природы работы элемента, определить функциональные связи между выделенными физическими величинами и тем самым построить математическую модель элемента или системы.

3. Полученную математическую модель привести к стандартному, с точки зрения теории управления, виду.

Любая система есть преобразователь информации: получая на вход определенную информацию, она вырабатывает и подает на выход другую информацию. Если эта информация обладает некоторой функциональной зависимостью (а в целенаправленной системе это так и есть), то систему можно рассматривать как функциональный преобразователь: каждой входной функции она ставит в соответствие единственную выходную функцию. С математической точки зрения соответствие между функциями на входе и выходе системы задается оператором системы.

Оператор является обобщением понятия функции в следующей последовательности:

®	®	®
независимая	Зависимость переменной от переменной	Зависимость переменной от функции	Зависимость функции от функции
переменная	функция	функционал	оператор

Если функция – переменная величина, значение которой определяется значением другой переменной – аргумента, а функционал – переменная величина, значение которой определяется значением функции, то оператор приводит в соответствие функции-аргументу другую функцию. Соответствие между входной функцией системы u (t) и ее выходной функцией y (t) с помощью оператора A можно записать в виде

y (t) = A (u (t)).

Под понятием оператора объединяются любые математические действия: алгебраические, дифференцирование и интегрирование, сдвиг во времени, решения алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений, а также логические действия. Задать оператор – значит задать программу действий над входной функцией, необходимую для получения выходной функции.

Оператор A называется линейным, если при любых числах c_i, i = 1,2,.., n и любых функциях u ₁(t), u ₂(t),…, u_n (t) имеет место соотношение

, (1.7)

т.е. действие оператора на любую линейную комбинацию заданных функций есть линейная комбинация результатов его действия на каждую из этих функций в отдельности. Другими словами оператор линеен, если:

− при любом изменении входного воздействия выходная переменная претерпевает точно такое же изменение с сохранением формы;

− реакция на сумму любых входных воздействий есть сумма реакций на каждое из этих воздействий.

Автоматическая система − линейная, если ее оператор линеен, т.е. если любой линейной комбинации входных возмущений соответствует та же линейная комбинация выходных функций. Это свойство линейных систем носит название принципа суперпозиции и выражается формулой (1.7).

Принцип суперпозиции применим не только к суммам, но и к интегралам, т.е. если входное возмущение есть сумма бесконечно большого числа элементарных (бесконечно малых) возмущений, то выходная переменная линейной системы есть сумма бесконечно малых реакций на эти элементарные возмущения:

.

Последняя формула выражает принцип суперпозиции в интегральной форме.

Принцип суперпозиции дает возможность выразить реакцию линейной системы на любое возмущение u (t) через ее реакцию на определенный вид (или набор) элементарных возмущений. Для этого достаточно разложить произвольное возмущение u (t) на элементарные возмущения выбранного типа. Затем, зная реакцию системы на данный тип элементарных возмущений, можно определить ее реакцию на заданное возмущение u (t). Поэтому изучение поведения системы достаточно проводить на элементарных возмущениях.

Примерами линейных операторов являются операторы:

− дифференцирования

;

− линейного интегрирования

;

− интегро-дифференциальный

,

где p – прядок производной, и др.

Нелинейным называется любой оператор, для которого принцип

суперпозиции в общем случае не имеет места (может быть справедлив лишь при вполне определенных числах c_i, i = 1,2,.., n и функциях u ₁(t), u ₂(t),…, u_n (t)).

Примерами нелинейных операторов может служить:

– нелинейный интегральный оператор

,

где – функция, нелинейная относительно переменной x;

− оператор решения нелинейного дифференциального уравнения

.

Оператор называется стационарным, если его характеристики инвариантны ко времени, т.е. если при сдвиге входного воздействия во времени без изменения его формы реакция претерпевает такой же сдвиг без изменения своей формы.

Для отображения изменений свойств объекта во времени вводятся нестационарные операторы вида

.

В простейшем случае нестационарность сводится к изменению параметров модели, в общем случае – к изменению структуры или даже класса оператора.

Дата добавления: 2014-01-15