Передаточная функция. в пространстве состояний

в пространстве состояний

Пусть система или какое-либо звено ее в пространстве состояний описываются системой дифференциальных уравнений вида:

, (2.26)

причем для реальных объектов n > m.

Первое уравнение (2.26) можно записать в операторной форме

,

откуда

или

где

– единичная матрица, .

Отсюда

,

где – обратная матрица .

С учетом второго уравнения (2.26) получаем

.

В последнем выражении

(2.27)

есть передаточная функция (функция оператора от p), , т.к. y и u имеют m компонент:

.

Матричная передаточная функция показывает, какими операторными выражениями связаны между собой компоненты вектора y и u:

.

Если все u_j = 0 и i ¹ j то .

W_ii (p) – собственная передаточная функция i -го канала, отражает соотношение между i -м входом и i -м выходом при нулевых остальных входах.

Если один из элементов матрицы передаточной функции равен 0, то это означает, что в рассматриваемой системе связь между соответствующими компонентами векторов y и u отсутствует.

Пример 2.11. Пусть система описывается системой дифференциальных уравнений

.

Получить для нее передаточную функцию в форме пространства состояний и в функциональном пространстве.

Решение. Образующие матрицы этой системы есть

.

Передаточная функция системы по определению есть

,

где

Обратная матрица

,

в которой i, j -элемент получен из выражения

,

где M_ij – минор i, j -элементов. Тогда

где

– характеристический полином системы;

– характеристическое уравнение системы;

Теперь рассмотрим решение этой задачи в функциональном пространстве. Дифференциальное уравнение системы

в изображениях по Лапласу представляется в виде

,

откуда

.

■

Дата добавления: 2014-01-15