Перестановки n-й степени. Теорема о четности перестановки. Определители n-го порядка. Определители второго и третьего порядков

Определение 1. Пусть М= { 1,2,…,n }. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его элементов, и обозначается I= (i₁i₂…i_n), где i₁,i₂,..,i_n – попарно различные элементы из М.

Пример 1. Пусть М= { 1,2,3 }. Тогда перестановки на М имеют вид: I₁= (132), I₂= (231), I₃= (123) и т.д.

Определение 2. Инверсией или беспорядком перестановки I называется любая пара символов перестановки I, в которой символ, стоящий левее, больше символа, стоящего правее.

Пример 2. В перестановке I₂= (231) две инверсии: 31 и 21.

Через s (I) будем обозначать число всех инверсий перестановки I.

Определение 3. Перестановка I называется чётной, если s(I) – чётное число, в противном случае перестановка I называется нечётной.

В примере 2 перестановка I – чётная.

Через S_n обозначается множество всех перестановок n -ой степени. Можно доказать, что количество всех перестановок из n элементов равно n!=1×2×3×…×n. Например, из 3 элементов можно составить перестановок. Это будут 123, 132, 231, 321, 312, 231.

Определение 4. Транспозицией называется перемена местами 2-х элементов перестановки, когда остальные элементы остаются на месте.

Теорема 1. Транспозиция меняет четность перестановки. Другими словами, четность перестановки изменится, если в ней поменять местами два произвольных символа.

Пусть А =- матрица n -го порядка над полем Р.

Из элементов матрицы А будем составлять всевозможные произведения, состоящие из n множителей, любые два различных из которых находятся в разных строках и разных столбцах. Таким, например, является произведение элементов, стоящих на главной диагонали: a₁₁a₂₂…a_nn. Все такие произведения можно получить по следующему правилу: выберем для произведения из первой строки матрицы А некоторый элемент , затем вычеркнем первую строку и j₁ -й столбец, и в полученной подматрице из первой строки выбираем некоторый элемент и т.д. Через конечное число шагов получим произведение вида: ….

Так как j₁,j₂,…,j_n – попарно различные элементы из множества М= { 1,2,…,n }, то вторые индексы в записанном произведении образуют перестановку I= (j₁j₂…j_n).

Рассмотрим выражение вида: (-1) ^{s (I)} (1), где I= (j₁j₂…j_n).

Выражений вида (1) можно образовать столько, сколько существует перестановок, составленных из вторых индексов, т.е. их будет n!.

Определение 5. Пусть А =- матрица n -го порядка над полем Р. Определителем матрицы А (или, коротко, определителем n-го порядка) называется элемент поля Р, равный .

Используются следующие обозначения: =, =| A |, =| a_ij |, i =, j =,

= det A.

1) Пусть Δ – определитель 2-го порядка, т.е. Δ ==.

Так как I ₁ = (12) и = 0, то получим Δ = = .

Таким образом, определитель 2-го порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

2) Пусть Δ - определитель 3-го порядка: Δ = = .

I ₁ = (123) = 0 ; I ₂ = (213) = 1 ;

I ₃ = (312) = 2 ; I ₄ = (321) = 3 ;

I ₅ = (132) = 1 ;

I ₆ = (231) = 2 .

Следовательно,

Δ== .

Таким образом, определитель 3-го порядка равен сумме шести слагаемых, три из которых со знаком +.

Дата добавления: 2014-01-15