Эталонные ряды

Отметим эталонные ряды, часто используемые для сравнения:

1) Геометрический ряд , при - ряд сходится, при - расходится.

2) Гармонический ряд - расходится

3) Обобщенный гармонический ряд

сходится при

расходится при

Трудность работы по 1 признаку сравнения, заключается в том, что нужно не только подобрать эталонный ряд, но и доказать, что

В ряде случаев эффективным оказывается применение 2 предельного признака сравнения.

ТЕОРЕМА: (2 предельный признак сравнения) Если (1) и (2)

– ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов , тогда ряды одновременно или сходятся, или расходятся.

ПРИМЕР: Исследовать сходимость ряда

Сравним данный ряд с гармоническим рядом , о котором точно известно, что он расходится. Почему будем сравнивать именно с ним?

Ответ: при : , т.к. , поэтому и будем сравнивать данный ряд с .

Рассмотрим предел отношения общих членов ряда, согласно предельному признаку сравнения ; следовательно, делаем вывод, что данный ряд расходится, как и гармонический.

ТЕОРЕМА: (Признак ДАЛАМБЕРА) Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения - го члена к - му члену, , тогда если:

1. Если , то ряд сходится

2. Если , то ряд расходится

3. Если , то вопрос о сходимости остается открытым.

Пример: Исследовать на сходимость ряд:

Следовательно, ряд сходится.

Дата добавления: 2014-01-15