Тема 3. Замена оборудования

B начале планового периода из N лет имеется оборудование возраста t лет. Для каждого года планового периода известны стоимость r(t) произведенной с использованием имеющегося оборудования продукции и затраты v(t), связанные с его эксплуатацией. Эти характеристики зависят от возраста t оборудования. Известны также остаточная стоимость s оборудования, не зависящая от его возраста, и цена р единицы нового оборудования, не меняющаяся в рассматриваемом плановом периоде. Требуется разработать оптимальную политику в отношении имеющегося оборудования, т. е. в начале каждого года планового периода установить, сохранить в этом году оборудование или продать его по остаточной стоимости s и купить новое по цене р, с тем чтобы ожидаемая прибыль за N лет достигла максимальной величины.

В качестве физической системы S в описанной ситуации выступает оборудование, состояние которого с течением времени изменяется. В качестве шага процесса принятия решения здесь естественно считать год планового периода. Таким образом, мы имеем дело с пошаговым процессом.

Состояние оборудования (состояние системы S) будет полностью характеризоваться его возрастом t. Судя по условию задачи, параметр t может принимать значения 0, 1, 2,...., t—1, t. Значение t=0 соответствует новому оборудованию (оборудованию «нулевого возраста»).

При произвольном i < N основное функциональное уравнение Беллмана применительно к рассматриваемой задаче запишется в виде:

Fi (Xi-1, Ui) = max (Zi (XHi, Ui) + Fi+1 (Xi)), где Ui

r (XHi) - U(XHi) – сохранение,

Zi(XHi, Ui) =

S – p + r (0) – v (0) - замена.

Здесь:

Xi-1 – множество состояний системы (множество возрастов оборудования) в начале i – того года;

XHi - множество состояний системы (множество возрастов оборудования) сразу после выбора управления в i –ом году. В случае сохранения его возраст не изменяется, в случае замены возраст оборудования принимается равным нулю. К концу года оборудования стареет на 1 год;

Xi – множество состояний системы в конце i-ого года;

Zi - прибыль в i –ом году от использования оборудования;

Fi (Xi-1, Ui) – условно-оптимальная прибыль от использования оборудования в период с i-ого по N-ый год.

Пример. Разработать оптимальную политику по критерию прибыли на ближайшие четыре года в отношении оборудования не старше шести лет. Для каждого года планового периода известны стоимость r(t) продукции, производимой с использованием этого оборудования и эксплуатационные расходы v{t), заданные в таблице 1. Известны также остаточная стоимость s, равная 4 и не зависящая от возраста оборудования, и цена p нового оборудования, равная 13 и не меняющаяся в плановом периоде.

Возраст оборудования t
Стоимость произведенной продукции r(t)
Затраты v(t)

Решение:

Условная оптимизация:

4-й год.

Функциональное уравнение при i = 4 принимает вид:

F4 (X3, U4) = max Z4 (XH4,U4), где

U4

r(XH4) – v (XH4) – сохранение,

Z4 (XH4,U4)=

4 – 13 + 27 – 15 = 3 - замена.

Множество X3 характеризует состояние оборудования перед четвертым годом и состоит из элементов 1, 2,...,6. Множество ХH4 состояний оборудования после выбора управления в начале четвертого года состоит из элементов 0, 1, 2,..., 6. Для каждого из них найдем прибыль Z4.

Если возраст оборудования 1 год, то, пользуясь равенством и таблицей 1, находим при первом («сохранение») и втором («замена») управлениях соответствующие величины 11 и 3 прибыли Z4:

r(1)-U(1) = 26 –15 =11 11 – сохранение,

Z4(1,U4)= ==

3 3 – замена.

Из этого равенства очевидно, что на четвертом году оборудование целесообразно сохранить, так как при этом прибыль будет больше, чем при замене (11>3).

Результаты сведены в таблицу 2.

Табл. 2

Возраст оборудования в начале 4-ого года x3	Принятое решение u4	Возраст оборудования после принятия решения x4н	Прибыль в 4-м году	Условно-оптимальная прибыль за 4-й год
	Сохранение замена			-
2	Сохранение замена	2	10	10 -
	Сохранение замена			-
	Сохранение замена			-
	Сохранение замена			-
	Сохранение замена			-

Дата добавления: 2014-01-15