Числовые последовательности и ряды

3.1. Числовые последовательности. Понятия последовательности чисел и её предела. Сходящиеся последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Предел суммы, произведения и частного двух последовательностей. Предельный переход в неравенствах. Принцип двух милиционеров.

Фундаментальные последовательности (последовательности Коши). Критерий Коши сходимости последовательности. Теорема Вейерштрасса о монотонной ограниченной последовательности. Пределы последовательностей , , , , .

Число .

Подпоследовательности и частичные пределы последовательности. Теорема Больцано --- Вейерштрасса для последовательностей. Верхний и нижний пределы последовательности. Теорема о том, что верхний (нижний) предел последовательности является её наибольшим (наименьшим) частичным пределом.

3.2. Числовые ряды. Понятие числового ряда. Частичные суммы ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Критерий Коши сходимости ряда. Гармонический ряд. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема сравнения рядов с неотрицательными членами. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Теорема о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда. Признаки абсолютной сходимости: Вейерштрасса (мажорантный признак), Коши, Даламбера. Прореживающий признак Коши. Обобщенный гармонический ряд . Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

Сходимость произвольных рядов: преобразование Абеля, признаки Абеля и Дирихле. Произведение рядов. Теорема о произведении двух абсолютно сходящихся рядов.

Дата добавления: 2014-01-15