Функция одной переменной

Определение 3.8. Функцией называется правило, по которому каждому значению переменной из множества ставится в соответствие единственное значение переменной . При этом называется независимой переменной (аргументом функции), - зависимой переменной (значением функции), - областью определения функции (обозначается).

Определение 3.9. Пусть переменная принимает все значения из , тогда множество называется областью значения функции , а множество точек декартовой плоскости с координатами - графиком функции .

Способы задания функции

1. Аналитический – с помощью формулы , где - выражение, содержащее переменную

Пример 3.3. а) , , ; б) , , ; в) , , ; г) , , .

2) Табличный (таблицы Брадиса, табель, расписание). Область определения должна состоять из конечного числа элементов. Применяется при проведении различных исследований, при этом важна возможность взаимоперехода между табличным и аналитическим способами задания.

3) Графический (кардиограмма). Применяется при проведении физических (или иных) опытов с помощью приборов – самописцев.

Виды функций

Определение 3.10. Функция называется возрастающей (убывающей, неубывающей, невозрастающей) на промежутке , если таких, что , имеет место неравенство (, , соответственно). Общее название таких функций – монотонные.

Определение 3.11. Пусть даны функции и , причём . Тогда функция называется сложной функцией (суперпозицией двух функций), - внутренней функцией, - внешней функцией.

Пример 3.4. - сложная функция, у которой - внутренняя функция, - внешняя функция. - сложная функция, у которой - внутренняя функция, - внешняя функция.

Определение 3.12. Пусть дана функция , причём каждому значению соответствует единственное значение . Тогда на множестве определена функция такая, что . Функция называется обратной к

Пример 3.5. Пусть , тогда , поскольку на . Обратными являются также и при , и при . Графики прямой и обратной функции симметричны относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей.

Определение 3.13. Основными элементарными функциями называются: степенная , показательная , логарифмическая , тригонометрические (, , ), обратные тригонометрические (, , ).

Определение 3.14. Элементарными функциями называются функции, получаемые из основных элементарных с помощью конечного числа алгебраических действий и суперпозиций

.

Примерами неэлементарных функций могут служить , - целая часть числа (ставит в соответствие действительному числу наибольшее целое число, не превосходящее его: ).

Дата добавления: 2014-01-15