Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Положительное направление- против часовой стрелки(налево)

Х

Рис.1.

Эту сумму называют интегральной суммой для функции f(х,у) по кривой АВ.

Определение. Пусть - наибольшая из дуг деления.Если при существует конечный предел интегральных сумм,то его называют криволинейным интегралом от функции f(х,у) по длине кривой АВ (или 1-го рода) и обозначают т.е. .

 

ТЕОРЕМА. Если функция f(х,у) непрерывнав каждой точке гладкой кривой(в каждой точке существует касательная к данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемещении точки по кривой),то криволинейный интеграл 1-го рода существует и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части,ни от выбора точек в них.

 

Основные свойства криволинейного интеграла 1-го рода.

1). , т.е криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления интегрирования.

2). .

3). .

4). ,если путь интегрирования L разбит на части такие,что и имеют единственную общую точку.

5).Если для точек кривой L выполнено неравенство ,то .

6). .

7). Теорема о среднем. Если функция f(х,у) непрерывна на кривой АВ,то на этой кривой найдется точка такая,что .

 

1.2. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.

Явное представление кривой интегрирования.

Если кривая АВ задана уравнением ,где - непрерывно дифференцируемая функция,то . (1.2)

Подинтегральное выражение в правой части формулы получается заменой и

.

ПРИМЕР. Вычислить ,где АВ- отрезок прямой между точками О(0,0) и А(4,3).

Уравнение прямой ОА есть: , 3х=4у или , ,тогда

.

 

 

Параметрическое представление кривой интегрирования.

Если кривая АВ задана уравнениями ,где - непрерывно дифференцируемые функции параметра t,причем точке А соответствует ,точке В- значение ,то . (1.3)

Полярное представление кривой интегрирования.

Если плоская кривая АВ задана уравнением в полярных координатах,то . (1.4)

Подчеркнем,что нижний предел определенного интеграла в формулах (1.2)-(1.4) должен быть меньше верхнего.

 

1.3.Некоторые приложения криволинейного интеграла 1-го рода.

1). Длина кривой АВ плоской или пространственной линии вычисляется по формуле

.

2 ). Масса материальной кривой AB (провод,цепь,трос,…) определяется по формуле

,

где - плотность кривой в точке М.

3). Статические моменты,центр тяжести.

Статические моменты относительно осей Ох,Оу и координаты центра тяжести материальной

кривой АВ: , ;

, .

4). Моменты инерции в отношении осей координат.

Для материальной кривой АВ моменты инерции в отношении осей координат Ох,Оу

и начала координат , ,

5). Площадь цилиндрической поверхности.

Если направляющей цилиндрической поверхности служит кривая АВ,лежащая в плоскости

Oху,а образующая параллельна оси Оz, то площадь поверхности,задаваемой функцией

z=f(x,y),находится по формуле .

 

§2.Криволинейный интеграл 2-го рода.

2.1.Основные понятия.

Решение задачи о вычислении работы переменной силы при перемещении материальной точки вдольнекоторой кривой(и других) приводит к понятию криволинейного интеграла 2-го рода,который определяется почти также,как и интеграл 1-го рода.

Пусть на плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или L) и функция

,определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую АВ точками на п произвольных дуг с длинами в направлении от точки А к точке В (Рис.1).Выберем на каждой дуге произвольную точку и составим сумму

, (2.1)

где - проекция дуги на ось Ох.

у В=

А=

О х

Рис.1.

Сумму (2.1) называют интегральной суммой для функции Р(х,у) по переменной х.

Определение. Если интегральная сумма (2.1) имеет конечный предел,не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек , то его называют криволинейным интегралом по координате х (или 2-го рода) от функции Р(х,у) по кривой АВ и обозначают , т.е.

.

Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции Q(х,у) по координате у:

,

где - проекция дуги на ось Оу.

Криволинейный интеграл 2-го рода общего вида

пределяется равенством .

 

ТЕОРЕМА. Если кривая АВ гладкая,а функции Р(х,у) и Q(х,у) непрерывны на кривой АВ,то криволинейный интеграл 2-го рода существует.

Основные свойства криволинейного интеграла 2-го рода.

1). При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл 2-го рода изменяет свой знак на противоположный,т.е. .

 

2). Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям,т.е. .

3).Если кривая АВ лежит в плоскости,перпендикулярной оси Ох, то

,

Аналогично для кривой,лежащей в плоскости,перпендикулярной оси Оу:

.

4).Криволинейный интеграл по замкнутой кривой(обозначается ) не зависит от выбора начальной точки(зависит только от направления обхода кривой).

 

 

2.2. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.

Явное представление кривой интегрирования.

Если кривая АВ задана уравнением ,где и ее производная непрерывны на отрезке ,то

. (2.2)

 

ПРИМЕР. Вычислить ,где АВ- отрезок прямой между точками О(2,0) и А(4,2).

Уравнение прямой ОА есть: , 2х-4=2у или , ,тогда

.

 

 

Параметрическое представление кривой интегрирования.

Если кривая АВ задана уравнениями ,где - непрерывны вместе со своими производными,причем точке А соответствует ,точке В- значение ,то . (2.3)

 

2.3. Формула Остроградского-Грина.

Связь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по границе L этой области устанавливает формула Остроградского-Грина.

Пусть на плоскости Оху задана область D,ограниченная кривой,пересекающейся с прямыми,параллельными координатным осям не более чем в двух точках,т.е. область D – правильная.

ТЕОРЕМА. Если функции Р(х,у) и Q(х,у) непрерывны вместе со своими частными производными в области D,то имеет место формула

,

где L- граница области D и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении(при движении вдоль кривой область D остается слева).

 

ПРИМЕР. Вычислить с помощью формулы Грина: вдоль контура L,который является треугольником с вершинами А(0,0),В(1,0),С(0,1).

Найдем ,уравнения линий АВ:у=0, АС: х=0, ВС:у=1-х, тогда по формуле Грина:

=.

 

2.4.Некоторые приложения криволинейного интеграла 2-го рода.

 

1). Работа переменной силы.

Переменная сила на криволинейном участке АВ производит

работу,которая находится по формуле .

 

у В

А

О х

Рис.2

Замечание. В случае пространственной кривой АВ:

.

ПРИМЕР. Найти работу,выполненную силой вдоль прямой,которая соединяет точки А(1,2) и В(2,4).

Тогда , уравнение прямой АВ: , 2х-2=у-2, у=2х.

.

 

2). Площадь плоской фигуры.

Площадь плоской фигуры,расположенной в плоскости Оху и ограниченной замкнутой линией L находится по формуле: , при этом направление обхода контура выбирается обратным движению часовой стрелки.

 

 

Глава 15.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.

§1.Понятие и представление комплексных чисел.

1.1.Основные понятия.

Определение. Комплексным числом z называется выражение вида ,

где х,у -действительныйе числа, i – мнимая единица (i² = -1).

Если х=0, то число называется чисто мнимым,

если у=0,то число отождествляется с действительным числом,а это означает, что множество всех действительных чисел R является подмножеством множества

C всех комплексных чисел ().

Число х – действительная часть комплексного числа z, обозначается ,

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Угол отклонения радиуса-вектора от оси Оz | Определение.Два комплексных числа и,отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 513; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.054 сек.