Угол отклонения радиуса-вектора от оси Оz

Сферическими координатами точки М(х,у,z) в пространстве Оxyz

называется тройка чисел r, θ, φ (Рис.6),где

r - длина радиуса- вектора точки М,

θ – угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Оху и осью Ох,

_z

_φ М ( θ,r,φ )

_r

^{θ y}

^х

Рис.6

Сферические координаты точки r, θ, φ связаны с декартовыми координатами

х,у,z соотношениями: x = r senφ cosθ; y= r senφ senθ; z = r cosφ,

где 0 ≤θ <2π, 0 ≤r <∞, 0 ≤φ ≤ π, .

Тройной интеграл запишется:

.

Замечание. Применять сферические координаты удобно,когда область

интегрирования V есть шар(уравнение границы в сферических

координатах имеет вид ) или его часть,а также если подынтегральная функция имеет

вид .

ПРИМЕР. Вычислить интеграл ,если тело-полусфера

x²+y²+z² ≤9, x≥ 0.

Сферические координаты: 0≤θ≤2π; 0≤φ≤π/2; 0≤r≤3

x = r senφ cosθ; y= r senφ senθ; z = r cosφ, .

.

Замечание. Используем для сферы 0≤φ≤π; ½ сферы 0≤φ≤π/2; ¼ сферы 0≤φ≤π/4;

( I октант) 1/8 сферы 0≤φ≤π/8.

2.3.Приложения тройных интегралов.

1). Обьем тела:

– в декартовых координатах;

- в цилиндрических координатах;

- в сферических координатах.

2). Масса тела V:

т = ∫∫∫ χ(x,y,z)dxdydz, гдe χ(x,y,z) –плотность распределения массы в т. М(х,у,z).

^(V)

3 ). Статические моменты

Моменты тела относительно координатных плоскостей Оху,Охz,Оуz

вычисляются по формулам:

, , .

4 ). Координаты центра тяжести

.

5). Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей

, , ,

Моменты инерции тела относительно координатных осей

, , .

Глава 14.КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ.

§1.Криволинейный интеграл 1-го рода.

1.1.Основные понятия.

Обобщением определенного интеграла, если область интегрирования есть некоторая кривая,является так называемый криволинейный интеграл.

Пусть на плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или L) длины l. Рассмотрим непрерывную функцию f(х,у),определенную в точках дуги АВ. Разобьем кривую АВ точками на п произвольных дуг с длинами (Рис.1).

Выберем на каждой дуге произвольную точку и составим сумму

. (1.1)

у

Дата добавления: 2014-01-15