КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Уравнения состояния флюидов и параметров пористой среды (Зависимость параметров флюида и пористой среды от давления)
Лекция № 9 Выведенные ранее дифференциальные уравнения содержат параметры флюида (r, m) и пористой среды (k, m). Для дальнейших расчетов необходимо знание зависимости этих параметров от давления. Определение зависимости r = r (P) для жидкости При установившейся фильтрации, например, считается r - const, однако при неустановившейся фильтрации (например, отборе флюида за счет расширения жидкости при снижении давления в скважине), необходимо учитывать сжимаемость жидкости. Считая жидкость упругой, можно записать: , где: bж – коэффициент объемного сжатия жидкости; - изменение объема жидкости; Vж – первоначальный объем. Эта формула устанавливает коэффициент сжимаемости как относительное изменение объема жидкости при изменении давления. Иногда используют модуль упругости . Для различных нефтей отечественных месторождений bн= (7¸30)×10-10Па-1, пластовой воды bв= (2,5¸5)×10-10Па-1. Чтобы найти зависимость r = r(P) подставим в уравнение сжимаемости ; или ; интегрируя это уравнение , получим ; . Показатель степени экспоненты для рядовых давлений Р£10Мпа=107Па и bж=10-10Па-1 обычно мал и составляет ~ 0,01. Поэтому, раскладывая экспоненту в ряд Тейлора в окрестности Р0 и ограничиваясь двумя членами, получим линейную зависимость: r = r0 [1+bж (P-P0)]. Определение зависимости r = r (P) для газа. Подземные природные газы можно считать идеальными и подчиняющимися уравнению Клапейрона-Менделеева, если пластовое давление невелико (6-9 МПа) и газ отбирается с депрессией до 1 МПа. Тогда, если температура пласта постоянная (изотермический процесс) можно записать (плотность газа пропорциональна давлению, что вытекает из уравнения Клапейрона). Для месторождений с высоким пластовыми давлениями (до 40-60 МПа) и большими депрессиями отбора (15-30 МПа) для получения зависимости плотности газа от давления нужно использовать уравнение состояния реального газа
или , где: m – масса газа, m - молекулярный вес, z = z (Pr, Tr) - сверхсжимаемость газа, определяется (как рассмотрено ранее) по графикам Д. Брауна в зависимости от приведенных величин давления (Рr) и температуры (Тr) ; , где: и – псевдокритические значения давления и температурой для смеси природного газа. Определение их дано ранее. Используя найденное значение z (Pr, Tr) для изотермической фильтрации реального газа получим: . Определение зависимости m = m (Р) Эксперименты показывают, что вязкость нефти при давлении выше давления насыщения и значительном изменении давления (до 100 МПа) увеличивается с повышением давления по зависимости при незначительных изменениях давления , где: m0 - вязкость при фиксированном давлении Р0; am - коэффициент, определяемый экспериментально и зависящий от химического состава нефти. Определение зависимости k = k (P). Зависимости проницаемости пласта k от давления описывается уравнениями, аналогичными зависимостям плотности и вязкости флюидов от давления. k = k0[1+ak(P-P0)] – при малых изменениях P; – при значительных изменениях Р. Учет изменения k = k (P) необходим чаще в трещинных коллекторах, чем гранулярных, т.к. изменения проницаемости в них более значительные. Определение зависимости m = m(P). Чтобы выяснить, как зависит пористость от давления, рассмотрим вопрос о напряжениях в пористой среде, заполненной жидкостью Ргрн = (1–m)×s+mP, где: Ргрн= rgH – горное давление на пласт; r - средняя плотность в покрывающей толще пород; Н –глубина залегания пласта; m – пористость; P – пластовое давление. Тогда 1-е слагаемое в правой части является напряжением в скелете, а 2-е давлением поровой жидкости. Уравнение выражает следующее физическое содержание. Горное давление уравновешивается напряжением в скелете и давлением поровой жидкости (если кровля и почва пласта непроницаемые и пласт берет на себя нагрузку вышележащих пород).
Вводят так называемое эффективное напряжение, определяемое как разность напряжений в твердом скелете и жидкой фазе и действующее на скелете sэф = (1-m)(s-P). Тогда баланс напряжений можно записать: Ргрн = sэф+Р = соnst. Эффективное напряжение физически интерпретируется как часть истинного напряжения, которое передается по контакту между зернами. При разработке месторождения (отбора нефти) sэф в скелете растет, т.к. снижается пластовое давление в жидкой фазе. Пористость в общем случае зависит от sэф и Р, m = m (sэф, P). Снижение пластового давления жидкости ведет к увеличению sэф, что влечет уменьшение пористости (за счет увеличения деформации зерен). Одновременно, уменьшается сжимающее напряжения на зернах, что влечет их рост и также способствует снижению пористости (рис. 9.1).
В тех случаях, когда горное давление Ргрн=const, обычно считают пористость зависящей только от пластового давления и эта зависимость линейная m = m0[1+bm(P-P0)], где bm – коэффициент. Лабораторные исследования дают оценку его значений bm=(0,32¸2)×10-10Па-1. При значительных изменениях давления изменение пористости описываются уравнением Таким образом, в общем случае нужно решить систему из 8-ми дифференциальных уравнений, включающую: уравнение неразрывности, три уравнения движения (одно в векторной форме, но три в скалярной), два уравнения состояния флюидов и два уравнения состояния пористой среды и определить функции от координат и времени: wx, wy, wz, P, r, m, m и k.. Начальные и граничные условия. Продуктивный пласт или его часть можно рассматривать как некоторую область, ограниченную граничными поверхностями. Таких поверхностей много: кровля и подошва пласта, поверхности нарушений, выклинивания пласта, поверхности области питания (контура питания), стенки скважин и др. Чтобы получить решения системы дифференциальных уравнений, к ней необходимо добавить начальные и граничные (краевые) условия. Начальные условия заключаются в задании искомой функции во всей области в некоторый начальный момент времени.
Например: р = р(x, y, z) при t = 0; или P = const при t = 0, также и другие функции. Граничные условия задаются на границах пласта. Возможны следующие граничные условия: I. На внешней границе Г: 1) постоянное давление P = (Г, t) = Рк = const, т.е. граница является контуром питания; 2) постоянный приток через границу ¶P/¶n = const; 3) переменный приток через границу ¶P/¶n = f1(t); 4) замкнутая внешняя граница ¶P/¶n = 0; 5) бесконечный по простиранию пласт . II. На внутренней границе: 6) постоянное давления на забое скважины радиусом rc P(rc,t) = Pc = const; 7) постоянный дебит. Это условие при выполнении закон Дарси можно представить следующим образом: =const или , при r = rc, где: 2rh - площадь боковой поверхности скважины; 8) переменный дебит при r = rc; 9) отключение скважины при r = rc; Наиболее часто встречаются граничные условия 1 и 5, 6 и 7. Лекция №10 3.4. Вывод дифференциального уравнения установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси В простейших идеализированных случаях рассмотренная ранее система дифференциальных уравнений первого порядка может быть представлена одним уравнением в частных производных более высокого порядка. Выведем дифференциальное уравнение установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси на основе уравнений неразрывности, движения и состояний жидкости и пористой среды (одно дифференциальное уравнение вместо системы дифференциальных уравнений). Для таких условий без учета деформации среды (r, m = const) второй член уравнения неразрывности равен нулю и оно принимает вид: , и поскольку r ¹0, то . Уравнение движения по закону Дарси , . Определяем производные ; ; . и подставляя выражение w в векторной и координатной форме в уравнение неразрывности, получаем выражения: или в координатной форме Это и есть дифференциальное уравнение установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси, которое называется уравнением Лапласа. В теории фильтрации для удобства еще вводят функцию Ф(x, y, z), называемую потенциалом скорости фильтрации и определяемую как
. С ее помощью уравнение движения переходит в уравнение , а уравнение фильтрации - . Решениями уравнения Лапласа являются гармонические функции Р (x, y, z) и Ф (x, y, z), которые имеют непрерывные частные производные 1-го и 2-го порядка. На решения уравнения Лапласа распространяется принцип суперпозиции, заключающийся в том, что если функции Ф1, Ф2 …Фn являются частными решениями, тогда их линейная комбинация , где Сi – коэффициенты, также является решением. Это свойство широко используется при решении задач, сводящихся к уравнению Лапласа.
Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 2662; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |