Нелинейные системы

Система является нелинейной, если в ней есть хотя бы один элемент, для которого не выполняется принцип суперпозиции. Процессы в нелинейных системах и их собственные движения разнообразнее и сложнее процессов и движений в линейных системах.

С точки зрения характера движений в нелинейной системе наиболее существенной особенностью является их зависимость от начальных условий и входных воздействий. Например, «драматическое» влияние начальных условий в системе

.

В нелинейных системах устойчивые колебания определённой амплитуды и частоты, называемые автоколебаниями, возможны без внешних возмущений.

Система может иметь несколько различных видов устойчивых периодических процессов с разными частотами и соответствующими вполне определёнными амплитудами. Появление и установление того или иного вида периодического режима зависит от начальных условий, т.е. одна и та же система при различных начальных условиях может совершать различные по своему характеру движения.

При периодическом внешнем входном воздействии в нелинейной системе могут наблюдаться особые случаи резонанса, несвойственные линейным системам и характеризующиеся неоднозначной зависимостью амплитуды вынужденных колебаний от частоты. Резонанс в нелинейной системе возможен и на частоте, равной некоторой доле частоты входного сигнала. Наконец, некоторым нелинейным системам свойственны явления параметрического возбуждения и резонанса, заключающиеся в том, что в системе возникают колебания при периодическом изменении какого-либо её параметра.

Можно выделить два основных подхода к теории нелинейных систем.

Первый подход – учет наличия нелинейностей таким образом, чтобы процессы в системе не выходили за границы линейности нелинейных характеристик элементов. Нелинейные элементы в этом случае не порождают нового качества, а только количественно изменяют характеристики процесса. Собственно говоря, все реальные системы нелинейны. Рассматривавшиеся ранее “линейные” системы есть, по существу, линеаризованные нелинейные. Такой подход применим к системам, которые допускают линеаризацию по Тейлору.

Второй подход – исследование принципиально нелинейных систем, имеющих в своём составе нелинеаризуемые по Тэйлору элементы, которые порождают новые характерные особенности динамических процессов.

Типовые нелинейности автоматических систем

Практически любая автоматическая система является нелинейной, вопрос состоит лишь в том, насколько нелинейность системы существенна.

Среди нелинейных элементов САУ особую роль играют так называемые безынерционные нелинейности, не обладающие заметным запаздыванием. В задачах практики обычно всегда удаётся все нелинейные свойства системы отнести к безынерционным звеньям, т.е. считать с достаточной точностью любую САУ состоящей из ряда линейных систем и элементарных нелинейных безынерционных звеньев, соединённых различными связями.

Характеристики элементарных нелинейных звеньев можно разделить на слабые и существенные нелинейности.

Слабые нелинейности в малом могут быть заменены линейными элементами, существенные нелинейности близки к разрывным или разрывные.

Широкое распространение получили различные методы линеаризации существенных нелинейностей, основанные на замене действительных нелинейных зависимостей между входными и выходными переменными приближёнными линейными зависимостями. При этом, разумеется, должно сохранять, хотя бы приближённо, в среднем нелинейные свойства элементов (т.е. чтобы для линеаризованных элементов не выполняется принцип суперпозиции).

Новое качество движениям САУ, которые не могут быть исследованы в рамках линейной теории, привносят существенно нелинейные элементы, в частности, безынерционные существенные нелинейности: , где х – входная, у – выходная переменные, - функциональная зависимость, обычно кусочно-линейная. Существенные нелинейности имеют разрывные производные., что не допускает линеаризации по Тейлору.

С математической точки зрения наиболее существенной особенностью нелинейных систем, проистекающей из неподчинения принципу суперпозиции, является невозможность использования аппарата преобразования Лапласа (Фурье).

Дата добавления: 2014-01-15