Метод решения нормальных систем

Задача Коши

Задачей Коши для системы (6.1) называется задача отыскания решения , удовлетворяющего начальным условиям:

(6.5)

Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши). Пусть правые части системы (6.1) определены в области и удовлетворяют в ней двум условиям:

1) , непрерывны;

2) частные производные , существуют и ограничены.

Тогда система (6.1) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям (6.5), непрерывно дифференцируемое в некотором интервале .

Пример.

Правые части данной системы , , непрерывны . Частные производные , , , , , , , , непрерывны . Следовательно, по теореме Коши система имеет единственное решение задачи Коши в любой точке такой, что .

Одним из способов интегрирования системы (6.1) является метод исключения. Он состоит в том, что система -го порядка сводится к уравнению -го порядка.

Продифференцируем, например, первое уравнение системы (6.1):

и заменим на ,..., - на :

.

Продифференцируем еще раз по :

.

Продолжая этот процесс, получим систему

(6.6)

Из первых уравнений данной системы выразим через :

(6.7)

и подставим их в последнее уравнение системы (6.6). Получим уравнение -го порядка для определения :

.

Отсюда найдем . Продифференцируем его раз и найдем , учитывая (6.7).

Пример. Решить систему

Продифференцируем обе части первого уравнения:

Получаем систему

Выразим из первого уравнения :

(6.8)

и подставим его во второе уравнение системы. Получим Отсюда . Найдем и подставим в (6.8). Получим . Итак, решение исходной системы имеет вид:

Пример.

(6.6)

Решим второе уравнение системы (6.6). Корни характеристического уравнения .

, .

, .

Следовательно, , . Из второго уравнения в (6.6) получаем: .

Дата добавления: 2014-01-15