Представление сигналов в частотной области. Понятие спектра сигнала

Гармонические сигналы и их параметры.

1. Гармонические сигналы и их параметры.

Мы, в нашей дисциплине, будем рассматривать электрические сигналы, т.е. такие сигналы, в которых информация заложена в изменении электрического напряжения или тока. Например,простейшим электрическим сигналом является гармоническое ко­лебание – это колебание, подчиняющееся закону синуса или косинуса:

s(t) = sin ωt. s(t) = cos ωt.

Рис.1 Гармонические сигналы.

Сигналы характеризуются своими ПАРАМЕТРАМИ. Одним из важнейших параметров сигнала является его

1. АМПЛИТУДА - максимальное отклонение от положения равновесия. Применительно к гармоническим сигналам, изображённым на рисунке 1, это максимальное отклонение от нулевого значения значения. Например, амплитуда сигналов на рис1 составляет приблизительно 1,5 клетки. Если, допустим, в одной клетке 100В, то амплитуда этих сигналов составляет 150В.

Сигналы бывают ПЕРИОДИЧЕСКИМИ и НЕПЕРИОДИЧЕСКИМИ.

Периодическим называется сигнал, значения которого повторяют­ся через определенные равные промежутки времени, называемые периодом повторения сигнала, или просто периодом. Для непериоди­ческого сигнала это условие не выполняется.

2. ПЕРИОД – это минимальный отрезок времени, и течении которого сигнал принимает все свои возможные значения. ПЕРИОД сигнала является важнейшим параметром сигнала. Обозначается период обычно буквой «Т», измеряется в секундах [c], миллисекундах 1мс = 10^-3 с., микросекундах: 1 мкс = 10^-6с., наносекундах: 1 нс = 10^-9с.

Период сигналов на рис 1 составляет 3,5 клеточки. Если, предположим, в одной клеточке 10 микросекунд, то период составляет 35 микросекунд (мкс), т.е.

Т = 35[мкс] = 35 х 10 ^-6 [с];

Другим важным параметром сигнала является его

3. ЧАСТОТА – величина обратная периоду. Частота бывает линейной (или просто частотой) – обозначается буквой f и круговой (или циклической) – обозначается буквой ω.

Частота f показывает число полных колебаний в единицу времени.

Частота измеряется в герцах: [Гц], килогерцах: 1 [КГц] = 10³ [Гц], мегагерцах: 1 [МГц] = 10⁶[Гц], гигагерцах: 1 [ГГц] = 10⁹ [Гц].

Частота сигнала изображённого на рис 1 равна:

f = 1/T = 1/ 35 х 10 ^-6 = 0.29 х 10 ⁶ = 290 х 10 ³ [Гц] = 290 [КГц]

Круговая (или циклическая) частота ω равна числу полных колебаний за 2π единиц времени:

Измеряется круговая частота в радианах в секунду [рад/сек].

Следующим параметром сигнала является его ФАЗА.

4. Фаза – это состояние (стадия) периодического процесса в каждый момент времени.

Аналитическая запись гармонического сигнала т.е. запись с помощью математических символов, имеет вид:

Где

А – амплитуда сигнала.

- циклическая частота сигнала.

- фаза (или полная фаза) сигнала.

- начальная фаза сигнала, или фаза сигнала при t=0.

На рисунке 1 показаны сигналы s(t) = sin ωt и s(t) = cos ωt.Как известно, s(t) = cos ωt = sin (ωt + 90), т.е. можно сказать, что єти сигналы отличаются по фазе на 90 градусов.

2. Представление сигналов в частотной области. Понятие спектра сигнала.

Каждый сигнал имеет своё представление, свой образ в частотной области.

Этот образ называется СПЕКТРОМ сигнала. Слово спектр происходит от латинского spectrum, что в буквальном переводе и означает представление, образ.

Например, гармонический сигнал вида S(t) = A sin (ωt+φ) представляется в частотной области единственным значением на оси частот.

Рис 3. Спектр синусоидального сигнала.

В математике известна теорема, носящая имя великого французского математика Жана Фурье, согласно которой любой периодический сигнал с периодом T может быть представлен рядом Фурье (гармоническим рядом).

Другими словами можно сказать, любой, самый сложный периодический сигнал можно представить совокупностью простых гармонических сигналов.

Возьмём, например, последовательность прямоугольных импульсов, длительность которых равна половине периода (такой сигнал называется МЕАНДР), а частота равна 50Гц. (рис 4.) Форма этого сигнала не очень похожа на синусоиду, коротая показана ниже вместе со своим спектром. Далее, на рис. 4в. показана основная гармоника на частоте 50 Гц, синусоида с частотой в три раза большей (150 Гц). но меньшей амплитуды и результат сложения этих двух сигналов. Видим, он по форме уже напоминает прямоугольные импульсы. Далее, на рис 4г., к первой и третьей гармоникам добавлена пятая, на частоте 250 Гц. Результат их сложения ещё более похож на исходный сигнал и так далее, чем больше гармоник мы будем суммировать, тем большую степень приближения к прямоугольным импульсам мы получим.

Рис. 4.Спектральный состав последовательности прямоугольных импульсов.

Аналитическая запись рассмотренного разложения имеет вид:

Или

Чем больше сигнал отличается от гармонического, тем больше частотных составляющих в его спектральном представлении и тем меньше расстояние (разнос частот) между ними, т.е. шире спектр такого сигнала. На рис.5.показана синусоида ограниченная сверху и снизу т.е. несколько искажённая, а на рис.6 показан её спектр. Видим, спектр имеет высшие гармоники различной амплитуды.

Рис. 5.

Рис. 6.

Таким образом, любое изменение формы сигнала неизбежно ведёт к изменению его спектра, и наоборот, любое изменение спектра сигнала приводит к изменению его спектра. Связь между временным и частотным представлением сигнала даёт теорема Фурье.

Дата добавления: 2014-01-15