Взаимное расположение двух прямых

Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями

, .

Точки и лежат соответственно на прямых и ; и - направляющие векторы этих прямых (рис. 15.2).

рис. 15.2

Прямые в пространстве могут скрещиваться если векторы не компланарны, пересекаться, быть параллельными или совпадать, если векторы компланарны.

- условие скрещивания прямых

2) - условие того, что прямые и лежат в одной плоскости.

Один из углов между прямыми и равен углу между векторами и .

1) Для того чтобы прямые и были параллельными и не совпадали, то есть чтобы координаты какой-нибудь точки одной прямой не удовлетворяли уравнени­ям другой необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

- условие параллельности прямых.

2) чтобы прямые совпадали, необходимо, чтобы прямые и лежали в одной плоскости и векторы , и были параллельны.

- условие совпадения прямых.

3) Для того чтобы прямые пересекались, необходимо чтобы и лежали в одной плоскости и векторы и были не параллельны

- условие пересечения прямых.

Пример. Выяснить взаимное расположение двух прямых, заданных в аффинной системе координат каноническими уравнениями:

.

Решение. По данным находим точки и направляющие векторы данных прямых

.

Из равенства следует, что прямые лежат в одной плоскости. Поскольку координаты векторов не пропорциональны, то они не коллинеарны. Вывод: прямые пересекаются.

15.4 Взаимное расположение прямой и плоскости.

Пусть прямая l задана каноническими уравнениями (15.3), а пло­скость P - общим уравнением. Если направляющий вектор (m,n,p) прямой l перпендикулярен нормальному вектору (А, В, С) плоскости P (рис. 15.3), т. е. если

Am + Вn + Сp = 0,

рис. 15.3

то возможны два случая располо­жения прямой l относительно пло­скости Р.

Во-первых, прямая l мо­жет быть параллельна Р. Тогда ни одна точка прямой l не лежит на плоскости P, следовательно,

Во-вторых, прямая l может ле­жать на плоскости P, следовательно, . Тогда

- условия параллельности прямой l плоскости P

- условия принадлежности прямой l плоскости Р.

Эти условия являются и достаточными.

Если векторы и не взаимно перпендикулярны, то прямая l пересекает плоскость P. Следовательно,

- условие пересечения прямой и плоскости

Найдем угол между ними.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Обозначим через проекцию прямой l на P (рис. 15.3). Отложим вектор от точки пересечения прямой l с плоскостью. Тогда прямые l, и вектор N лежат в одной плоскости, и при этом выполняется равенство, . Следовательно,

(15.6)

Необходимым и достаточным условием пер­пендикулярности прямой l и плоскости Р является коллинеарность векторов и , откуда

Пример. Выяснить взаимное расположение прямой и плоскости, заданных в аффинной системе координат уравнениями:

.

Решение. По данным находим точку и направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости

.

Имеем

Вывод: прямая и плоскость параллельны.

Дата добавления: 2014-01-15