Показательная формы комплексного числа

Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и

Дадим представлением комплексного числа в тригонометрической форме. Расстояние r от точки z до нулевой точки на плоскости C (длина вектора z) равно r = . Это положительное число r называется модулем комплексного числа z и обозначается . Для действительного числа x модуль совпадает с абсолютной величиной . Числа, имеющие один и тот же модуль r, изображаются точками окружности радиуса r с центром в нулевой точке. Число 0 есть единственное комплексное число с модулем, равным нулю.

Для любых имеют место следующие свойства модуля.:

1) , причём тогда и только тогда, когда z=0;;

2) (неравенство треугольника);

3) ;

4) .

Из третьего свойства следует , где . Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем .

5) Для пары комплексных чисел z ₁ и z ₂ модуль их разности | z ₁ − z ₂ | равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости

Рис.2.1

Направление вектора z определяется с помощью угла между положительным направлением оси O х и направлением этого вектора; следовательно, изображает угол, на который нужно повернуть поло­жительное направление оси Ох, чтобы оно совпало с направлением вектора z, считая этот угол положительным, если вращение совер­шается против часовой стрелки, и отрицательным - в противном слу­чае (рис.2.1). Это число называется аргументом комплексного числа z, точнее главным значением аргумента комплексного числа и обозначается через arg z, . Очевидно, что

, .

Для каждого числа z его аргумент имеет бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на кратное 2: Arq z = arq z +2k. Число 0 есть единственное комплексное число, аргумент которого неопределенный. Так как r и являются полярными координатами точки z = (x,y), то имеем: x = r , y = r sin , и, следовательно,

.

Эта форма комплексного числа называется тригонометрической.

Формулы перехода из алгебраической формы в тригонометрическую и

из тригонометрической в алгебраическую формы

Формулы Эйлера преобразуют тригонометрическую форму комплексного числа z в показательную форму: .

Дата добавления: 2014-01-15