Екстремум функції двох змінних

План.

Лекція 21. Екстремум функції двох змінних. Найменьше і найбільше значення функції двох змінних.

1. Екстремум функції двох змінних (*).

2. Знаходження найбільшого та найменшого значень неперервної функції на замкненій обмеженій множині. (*).

3. Умовний екстремум для функції двох змінних. (*).

Означення. Нехай функція визначена в деякому околі точки і неперервна в цій точці. Якщо для всіх точок цього околу виконується нерівність , тоді ця точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції .

Точки максимуму й мінімуму називаються точками екстремуму.

Теорема (необхідна умова екстремуму). Якщо функція має екстремум у точці (x₀; y₀), тоді в цій точці частинні похідні і або дорівнюють нулю, або хоча б одна з них не існує.

Теорема (достатня умова екстремуму). Нехай функція має у точці (x₀; y₀) неперервні частинні похідні першого й другого порядку, причому та , а також , , . Якщо:

1) і , тоді (x₀; y₀) точка максимуму функції ;

2) і , тоді (x₀; y₀) точка мінімуму функції ;

3) , тоді в точці (x₀; y₀) немає екстремуму.

4) , тоді потрібні додаткові дослідження.

Алгоритм дослідження функції на екстремум:

1. Знайти перші частинні похідні та .

2. Знайти стаціонарні точки, тобто точки, в яких , .

3. Знайти частинні похідні другого порядку , , .

4. Обчислити значення частинних похідних другого порядку в стаціонарних точках.

5. Для кожної стаціонарної точки знайти і зробити висновки.

Приклад. Розглянемо функцію .

1. Знайдемо , .

2. Необхідна умова існування екстремуму полягає в тому, що

.

Розв’язком цієї системи є точка з координатами x=1, y=2.

Таким чином, у точці (1; 2) функція може мати екстремум.

3. Знайдемо похідні другого порядку , , , звідки дістаємо, що .

4. Екстремум у точці (1; 2) існує – це максимум, бо .

Дата добавления: 2014-01-15