Геометрический смысл решений неравенств, уравнений и их систем

Теорема 1. Множество решений неравенства с двумя переменными а11х1 + а12х2 <= b1 является одной из двух полуплоскостей, на которые вся плоскость делится прямой а11х1 + а12х2 = b1, включая и эту прямую, а другая полуплоскость с той же прямой есть множество решений неравенства а11х1 + а12х2 >= b1.

Пример:

3х1 – 4х2 + 12 <= 0

Для определения искомой полуплоскости (верхней или нижней) рекомендуется задать произвольную контрольную точку, не лежащую на ее границе – построенной прямой. Если неравенство выполняется в контрольной точке, то оно выполняется и во всех точках полуплоскости, содержащей контрольную точку, и не выполняется во всех точках другой полуплоскости.

Учитывая, что множество точек, удовлетворяющих уравнению

а11х1 + а12х2 +… + a1nxn = b1

при n=3 является плоскостью, а при n>3 – ее обобщением в n – мерном пространстве – гиперплоскостью, можно обобщить вышесформулированную теорему на случай трех и более переменных.

Теорема 2. Множество решений совместной системы m линейных неравенств с двумя переменными

а11*Х1 + а12*Х2 <= В1

а21*Х1 + а22*Х2 <= В2

………………………….

аm1*Х1 + аm2*Х2 <= Вm

Дата добавления: 2014-01-15