Производная по направлению. Градиент

Пусть заданы функция , точка , и вектор . Рассмотрим точку , где .

Опр. Производной функции по направлению вектора называется .

Удобно работать с вектором , например, Тогда . Аналогично для функции трех переменных , , .

Т 7. (О производной по направлению): Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке производную по любому направлению и .

Д-во. .

Замечание. Обращение Т.7 неверно, т.е., если имеет в данной точке производную по любому направлению, то из этого еще не следует, что она дифференцируема в этой точке.

Опр. Вектор наз. градиентом функции в точке (от лат. gradient(is) – шагающий).

В точке.

ПР. , .

Установим связь между производной по направлению и градиентом в точке: , где , .

Если , то . Если , то неравенство строгое, кроме случая .

Вывод: дает направление наискорейшего роста функцции и .

ПР. Найти производную ф-ции в точке в направлении, образующем с осями координат углы соответственно .

Решение: , , , , , .

Рассмотрим производную по направлению оси . Тогда , . Аналогично: если , то ; если , то .

Дата добавления: 2014-01-15