Однородные системы. Однородные линейные уравнения — это уравне­ния, свободные члены которых равны нулю:

Лекция 8

Однородные линейные уравнения — это уравне­ния, свободные члены которых равны нулю:

(8.1)

Система однородных уравнений (или однородная система линейных уравнений) всегда совместна, так как имеет, например, нулевое решение, называемое тривиальным, в котором значения всех неизвестных равны нулю:

,

Ответ на вопрос, при каком условии однородная си­стема имеет и ненулевые решения, дает теорема.

Теорема 8.1. Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее матрицы коэффициентов был меньше n.

□ Действительно, если r = n, то, согласно теореме 4.1, однородная система имеет единствен­ное и, значит, только нулевое решение:

,

Если же r < n, (число независимых уравнений меньше числа неизвестных), то однородная система является неопреде­ленной (ведь несовместной она быть не может), и значит, она имеет бесчисленное множество решений, в том числе и бесчисленное множество ненуле­вых решений.■

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает

Дата добавления: 2014-01-15