Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Макроэкономика функционирования многоотраслевого хо­зяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каж­дая отрасль, с одной стороны, является производителем, а с другой - потребителем продукции, выпускаемой другими от­раслями. Расчет связи между отраслями через выпуск и потребление продукции раз­ного вида основан на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в 1936 году в трудах известного амери­канского экономиста В.В.Леонтьева, который попытался про­анализировать причины экономической депрессии США 1929-1932 г

Балансовые соотношения. Для простоты будем полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения свое­го производства каждая отрасль нуждается в продукции дру­гих отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период времени; в ряде случаев такой единицей служит год.

Введем следующие обозначения:

- общий объем продукции i -ой отрасли (ее валовой выпуск);

- объем продукции i -ой отрасли, потребляемый j-ой отраслью при

производстве объема продукции;

-объем продукции i-ой отрасли, предназначенный для реализации (потребления)

в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного

потребления. К нему относятся личное потребление граждан, удовлетво­рение

общественных потребностей, содержание государ­ственных институтов и т.д.

Балансовый принцип связи различных отраслей промыш­ленности состоит в том, что валовой выпуск i-ой отрасли дол­жен быть равным сумме объемов потребления в производст­венной и непроизводственной сферах.

В самой простой форме (гипотеза линейности, или простого сложения) балансовые со­отношения имеют вид

, (*)

Уравнения (*) называются cоотношениями баланса. Поскольку продукция разных отраслей имеет разные изме­рения, будем в дальнейшем иметь в виду стоимостный баланс.

Линейная модель многоотраслевой экономики. В. В. Леонтьевым на основании анализа экономики США в период перед второй мировой войной был установлен важный факт: в течение длительного времени величины меняются очень слабо и могут рассматриваться как постоян­ные числа. Это явление становится понятным в свете того, что технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объем потреб­ления j-ой отраслью продукции i -ой отрасли при производстве своей продукции объема есть технологическая константа.

В силу указанного факта можно сделать следующее до­пущение: для производства продукции j -ой отрасли объема нужно использовать продукцию i -ой отрасли объема , где - постоянное число. При таком допущении технология про­изводства принимается линейной, а само это допущение назы­вается гипотезой линейности. При этом числа называются коэффициентами прямых затрат. Согласно гипотезе линей­ности имеем

= ; ,

Тогда уравнения (*) можно переписать в виде системы равнений

, (**)

Введем в рассмотрение векторы-столбцы объемов произве­денной продукции (вектор валового выпуска), векторы-столбцы объемов продук­ции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат:

, A = . (9.0)

Тогда системам уравнений (9.0) в матричной форме имеет вид

= + (9.1)

Обычно это соотношение называют уравнением линейно­го межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления (9.1) это уравнение носит название модели Леонтьева.

Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях.

В первом, наиболее простом случае, когда извес­тен вектор валового выпуска , требуется рассчитать вектор конечного потребления .

Во втором случае уравнение межотраслевого баланса ис­пользуется для целей планирования со следующей формули­ровкой задачи: для периода времени Т (например, год) извес­тен вектор конечного потребления и требуется определить вектор валового выпуска. Здесь необходимо решать систему линейных уравнений (9.1) с известной матрицей A и задан­ным вектором . В дальнейшем мы будем иметь дело именно с такой задачей.

Между тем система (9.1) имеет ряд особенностей, вытека­ющих из прикладного характера данной задачи; прежде всего все элементы матрицы A и векторов и должны быть неот­рицательными.

Матрица A, все элементы которой неотрицательны, на­зывается продуктивной, если для любого вектора с неот­рицательными компонентами существует решение уравнения (9.1) — вектор , все элементы которого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Для уравнения типа (9.1) разработана соответствующая математическая теория исследования решения и его особеннос­тей. Укажем ее основные моменты. Приведем без доказательства важную теорему, позволяющую устанавливать продуктивность матрицы.

Дата добавления: 2014-01-15