Условные законы распределения

Если известен закон распределения случайного вектора, то можно найти законы распределения для каждой из его координат. Однако обратную задачу восстановления закона распределения случайного вектора по известным законам распределения его координат в общем случае решить нельзя, так как для этого нужно знать условные законы распределения.

Условной плотностью распределения случайной величины , которая рассматривается совместно с , называется плотность распределения , вычисленная при условии, что другая случайная величина принимает постоянное значение. Аналогично определяется .

Пример: распределение амплитуд волн при постоянной фазе. Найдем связь между , и Рассмотрим прямоугольник со сторонами и с вершинами в точках , , , .

Вероятность попадания случайной точки в этот прямоугольник равна элементу вероятности

. (2)

С другой стороны в соответствии с теоремой умножения вероятностей

(3)

Из равенств (2) и (3) следует, что

=. Тогда

(4)

Аналогично

=

(5)

Условная вероятность дает распределение при условии, что случайная величина принимает значение , а дает распределение независимо от того, какие значения приняла случайная величина .

Пусть теперь и – дискретные случайные величины, которые принимают значения

.

Пусть в результате испытания . При этом может принять одно из своих возможных значений . Условным распределением случайной величины при называют совокупность условных вероятностей вычисленных в предположении, что событие наступило

(6)

Условным законом распределения какой–либо компоненты двумерного случайного вектора или называется ее закон распределения, составленный при условии, что другая компонента приняла определенное значение.

Условным распределением компоненты при условии, что , является совокупность условных вероятностей

которые вычисляются по формулам

Аналогично, условным распределением компоненты при условии, что , является совокупность условных вероятностей

которые вычисляются по формулам

(7)

Здесь , .

Пример.

Закон совместного распределения случайных величин и задан таблицей 4.

Составить:

1) маргинальные законы распределения случайных величин и ;

2) условный закон распределения при условии, что ;

3) условный закон распределения при условии, что ;

1) Случайная величина принимает значения . Вероятности, с которыми она принимает эти значения, определяются суммированием вероятностей в соответствующих столбцах таблицы 4.

,

,

.

Следовательно, закон распределения случайной величины можно записать в виде таблицы 5.

	0,45	0,25	0,3

Аналогично, суммированием вероятностей в строках таблицы 4 совместного распределения, составляется закон распределения случайной величины (табл. 6).

Таблица 6

	0,5	0,15	0,35

2) Найдем условные законы распределения и

Случайная величина принимает значения . Поскольку (табл. 3), то условные вероятности, с которыми она принимает эти значения, вычисляются по формулам:

,

,

.

Следовательно, условный закон распределения при условии можно представить таблицей 7.

Таблица 7

3) Аналогично, для случайной величины вероятности, с которыми принимаются значения , при условии, что при , определяются формулами:

,

,

.

Следовательно, условный закон распределения случайной величины при условии можно представить таблицей 8

Таблица 8

Дата добавления: 2014-01-15