Статистическая зависимость и независимость случайных величин

Статистическая зависимость отличается от функциональной зависимости.

Переменные и связаны функциональной зависимостью, если значения вполне определяются значениями .

Случайная величина находится в статистической зависимости от случайной величины , если

1) каждому значению соответствует некоторый ряд распределения случайной величины ,

2) с изменением эти ряды закономерно изменяются.

В случае статистической зависимости между и нельзя точно указать, какое значение примет , если . Можно однако для каждого указать все значения и вероятности, с которыми реализуются эти значения, т.е. для каждого можно указать и . Пример статистической. зависимости случайных величин между ростом человека и – его весом. В среднем высокий человек весит больше, чем человек более низкого роста. Однако для каждого роста нельзя однозначно указать вес.

Пусть случайные величины и определены на вероятностном пространстве . Пусть , . При этом .

Случайные величины и называются независимыми, если

.

Для дискретных случайных величин это равносильно равенству

Для непрерывных случайных величин это равносильно равенству

.

Случайные величины и называются независимыми, если плотность распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая величина:

, . Тогда.

: Случайные величины и называются независимыми, когда их условные законы распределения совпадают с безусловными законами, т.е. в случае

, ,

,

Случайные величины и , закон совместного распределения которых задан таблицей 4, являются зависимыми, поскольку условные законы их распределения не совпадают с их безусловными законами распределения.

Из определения следует, что случайные величины и , закон совместного распределения которых задан таблицей, независимы, тогда и только тогда, когда справедливо равенство:

при всех , ,

или

при всех ,

или, что проще всего проверяется, строки в таблице, задающей значения (табл. 1) пропорциональны

Дата добавления: 2014-01-15