Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Действующее значение периодической несинусоидальной переменной. Действующее значение периодического тока

Разложение периодических несинусоидальных кривых в ряд Фурье

Периодическая функция

где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье

.

(13.1)

Здесь - постоянная составляющая или нулевая гармоника;

- первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой

где Т – период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (13.1). Коэффициенты А₀, а_К и b_K определяются по формулам

,,.

Свойства периодических кривых, обладающих симметрией:

Рисунок 13.2

а) кривые, симметричные относительно оси абсцисс.

К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (рисунок 13. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е.;

Рисунок 13.3 Рисунок 13.4

б) кривые, симметричные относительно оси ординат.

К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство (рисунок 13.3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е.;

в) кривые, симметричные относительно начала координат.

К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (рисунок 13.4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е..

. (13.2)

Разложим периодический несинусоидальный ток в тригонометрический ряд

и подставим в формулу (13.2), после преобразования получим. (13.3)

Аналогичные выражения имеют место для э.д.с. напряжения

,.

Выразим мгновенные значения напряжения и тока в виде тригонометрических рядов

.

Тогда для активной мощности можно записать

После интегрирования, получим:

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических

.

Аналогично для реактивной мощности можно записать

.

Полная мощность

.

Для несинусоидального тока.

13.5 Расчёт цепей с несинусоидальными периодическими э.д.с., напряжениями, токами

Расчёт линейных электрических цепей несинусоидального тока распадается на три этапа:

а) разложение несинусоидальных э.д.с. и токов источников на постоянную и синусоидальные составляющие (т.е. в тригонометрический ряд Фурье);

б) применение принципа наложения и расчет токов и напряжений в цепи для каждой из составляющих в отдельности. При расчете цепи с постоянными составляющими э.д.с. и тока источника следует учитывать, что индуктивное сопротивление равно 0 и индуктивность в эквивалентной схеме заменяется короткозамкнутым участком, а ёмкостное равнои ветвь с ёмкостью размыкается. При расчете цепи для каждой синусоидальной составляющей э.д.с. и тока источника можно пользоваться комплексным методом, но недопустимо сложение комплексных токов и напряжений различных синусоидальных составляющих. Необходимо учитывать, что индуктивное и емкостное сопротивления для различных частот неодинаковы, индуктивное сопротивление для k-й гармоники равно:, а емкостное сопротивление для k-й гармоники равно:;

в) совместное рассмотрение решений, полученных для каждой из составляющих. Причём суммируются только мгновенные значения составляющих токов и напряжений.

14 Лекция 14. Четырёхполюсники. Уравнения передачи четырёхполюсников

Цель лекции: изучение основ теории четырёхполюсников и получение навыков расчета линейных пассивных четырёхполюсников.

14.1 Основные определения и классификация четырёхполюсников

Четырёхполюсником называется электрическая цепь или её часть, имеющая две пары зажимов (полюсов), для подключения к источнику и приемнику электрической энергии. К четырёхполюсникам относятся трансформаторы, усилители, электрические фильтры, линии передачи электрической энергии и т.д. Таким образом, теория четырёхполюсников позволяет едиными методами анализировать системы различные по структуре и принципу действия.

Условное изображения четырёхполюсников показано на рисунке 14.1.

Рисунок 14.1

Пара зажимов называются первичными, называются вторичными, зажимы, к которым подключается источник называются входными, зажимы, к которым подключается приёмник называются выходными. Положительные направления напряжений и токов показано на рисунке 14.1.

Активные и пассивные четырехполюсники.

Активные четырехполюсники содержат независимые и зависимые источники, пассивные четырехполюсники не содержат источников электрической энергии.

Линейные и нелинейные четырёхполюсники.

Линейные четырёхполюсники не содержат нелинейные элементы, нелинейные четырёхполюсники содержат нелинейные элементы.

Обратимые и необратимые четырёхполюсники.

Для обратимых четырёхполюсников выполняется теорема обратимости или взаимности: отношение напряжения на входе к току на выходе не меняется при перемене местами зажимов. Пассивные четырёхполюсники всегда обратимы.

Симметричные и несимметричные четырёхполюсники.

В симметричном четырёхполюснике перемена местами входных и выходных зажимов не изменяет напряжений и токов в цепи.

Схемы типовых пассивных четырёхполюсников показаны на рисунках 14.2 а), 14.2 б), 14.2 в),14.2 г).

Рисунок 14.2

14.2 Уравнения передачи четырёхполюсника

Уравнения определяющие зависимость между называются уравнениями передачи четырёхполюсника. Величины, связывающие в уравнениях передачи напряжения и токи, называются параметрами четырёхполюсника.

Уравнения передачи в Y-параметрах

}. (14.1)

Коэффициенты называются Y-параметрами и имеют размерность проводимостей.

Уравнения передачи в Z-параметрах

}. (14.2)

Коэффициенты называются Z-параметрами и имеют размерность сопротивлений.

Уравнения передачи в А- параметрах

}. (14.3)

Коэффициенты называются А- параметрами или обобщенными параметрами. А₁₁,А₂₂-безразмерные, А₁₂ имеет размерность сопротивления, А₂₁ имеет размерность проводимости.

Уравнения передачи в А - параметрах применяют при передаче энергии через четырёхполюсник от зажимов к зажимам.

При передаче энергии от зажимов к зажимам уравнения передачи для обратимых четырёхполюсников могут быть записаны через А – параметры, при этом коэффициенты А₁₁ и А₂₂ меняются местами

}. (14.4)

Уравнение передачи в Н – параметрах

}. (14.5)

Системы Y-,Z-,A-,H-параметров называются параметрами коэффициентами. Параметры – коэффициенты являются комплексными величинами, определяются только схемой четырёхполюсника и её элементами, между различными системами параметров – коэффициентов существует однозначная связь. Для пассивного четырёхполюсника,,для А- параметров справедливо соотношение

∆А=.

Для симметричного четырёхполюсника: А₁₁=А₂₂, Y₁₁=-Y₂₂, Z₁₁=-Z₂₂.

14.3 Входные сопротивления четырёхполюсника, параметры холостого

хода и короткого замыкания.

Если к зажимам подключить произвольное сопротивление нагрузки Z_H2 (рисунок 14.3, а), то входное сопротивление четырёхполюсника со стороны зажимов будет равно. Входное сопротивление можно выразить через А-параметры

. (14.6)

Аналогично определяется входное сопротивление четырёхполюсника со стороны зажимов, если к к зажимам подключить произвольное сопротивление нагрузки Z_H1 (рисунок 14.3,б)

. (14.7)

а) б)

Рисунок 14.3

Параметрами холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ) называются и при разомкнутых и замкнутых накоротко зажимах четырёхполюсника.

Входные сопротивления четырёхполюсника в режиме холостого хода на зажимах (Z_H2=, I₂=0) и (Z_H1=, I₁=0) соответственно равны

,.

При коротком замыкании зажимов (Z_H2=0, U₂=0) и (Z_H1=0, U₁=0) входные сопротивления четырёхполюсника, соответственно, равны

,.

Параметры ХХ и КЗ удовлетворяют соотношению:, т.е.только три параметра из четырёх независимы и их достаточно для составления уравнений передачи пассивных четырёхполюсников, из параметров ХХ и КЗ может быть получена любая система параметров-коэффициентов пассивных четырёхполюсников. Для симметричных четырёхполюсников А₁₁=А₂₂, Z_X1=Z_X2, Z_K1=Z_K2.

15 Лекция 15. Характеристические параметры четырёхполюсника. Уравнения четырёхполюсника с гиперболическими функциями

Цель лекции: изучение характеристических параметров четырехполюсника, получение навыков расчета режимов работы линейных пассивных четырёхполюсников с использованием характеристических параметров.

15.1 Характеристические параметры четырёхполюсника

К характеристическим параметрам четырёхполюсника относятся характеристические сопротивления и характеристическая постоянная передачи.

15.1 Характеристические сопротивления четырёхполюсника

а)

б)

Рисунок 15.1

Характеристическими сопротивлениями четырёхполюсника называется такая пара сопротивлений и, которая удовлетворяет условию:

при имеем и при имеем (рисунки 15.1а,15.1б). можно выразить через А- параметры и параметры ХХ и КЗ

,, (15.1)

, (152)

Для симметричного четырёхполюсника:.

Согласованное включение четырёхполюсника

Режим, при котором внутреннее сопротивление генератора выбрано равным, а сопротивление нагрузки (рисунок15.2) называется режимом согласованного включения. Режим согласованного включения наиболее благоприятен при передаче сигнала.

Рисунок 15.2

Режим согласованного включения симметричного четырёхполюсника (рисунок 15.3);.

Рисунок 15.3

Характеристическая постоянная передачи четырёхполюсника

Характеристическая постоянная передачи четырёхполюсника определяется в режиме согласованного включения и равна

, (15.3)

так как и получим

. (15.4)

Характеристическую постоянную передачи можно выразить через

А-параметры и параметры ХХ и КЗ

,. (15.5)

Подставим в уравнение (15.3),

получим

(15.6)

где А_С –характеристическое (собственное) ослабление четырёхполюсника

(15.7)

единица измерения А_С в масштабе натуральных логарифмов называется непером (Нп). На практике принято измерять А_С в децибелах (дБ).

В_С – фазовая постоянная четырёхполюсника, измеряется в радианах или градусах (15.8)

симметричного четырёхполюсника,,.

15.2 Уравнения передачи четырёхполюсника с гиперболическими функциями

А- параметры могут быть выражены через характеристические параметры

(15.9)

Подставим (15.9) в уравнение передачи в А-параметрах (14.3) и получим уравнение передачи с гиперболическими функциями

,

. (15.10)

Для симметричного четырёхполюсника () уравнение передачи с гиперболическими функциями имеет вид

,. (15.11)

15.3 Характеристические параметры Т- и П- образных симметричных четырёхполюсников (рисунки 15.4 а, 15.4 б).

Рисунок 15.4

Для Т- и П-образных симметричных четырёхполюсников

Характеристические сопротивления для Т-и П- образных схем

,. (15.12)

Дата добавления: 2014-01-15