Ранг матриці і його обчислення

Завдання для самостійного розв’язування.

Розв’язування.

, .

Оскільки , то система має єдиний розв’язок, що знаходиться за правилом Крамера:

, .

; .

Перевірка: .

Відповідь: .

4.1. Розв’язати системи рівнянь матричним методом та за правилом Крамера:

а) ;	б) ;	в) ;
г) ;	д) .

Відповіді:

4.1.а) (1; 2); б) (2; 3); в) (1; 1; 2); г) (2; 1; 3); д) (0; 1; 2).

Розглянемо матрицю розміру .

.

Означення. Мінором -го порядку матриці називається визначник -го порядку, складений з елементів матриці, що стоять на перетині деяких рядків і стовпців.

Наприклад:

,

, – мінори 1–го порядку. Очевидно, що мінорами 1–го порядку є елементи матриці.

– мінор 2–го порядку. (В мінорах матриці нижні індекси вказують номери рядків, а верхні – номери стовпців матриці, що використовуються для утворення даного мінора).

,

– мінори 3–го порядку

– мінор 4–го порядку, який містить нульовий рядок.

Приклад дозволяє зробити такий висновок: для матриці можливий порядок її мінорів – це натуральне число, яке задовольняє нерівність .

Означення. Рангом матриці називається максимальний порядок її відмінного від нуля мінора. Ранг нульової матриці дорівнює нулю.

Ранг матриці позначається і, очевидно, задовольняє нерівність

У розглянутому прикладі у матриці є відмінний від нуля мінор 3–го порядку, а всі мінори 4-го порядку дорівнюють нулю (переконайтесь самостійно). За означенням, .

Дата добавления: 2014-01-15