Релейно-контактная аналогия дизъюнкции и конъюнкции

Известные всем опыты с бросанием кубика и наблюдение за появлением той или иной его грани позволяют делать заключения о частоте случайного события. Случайным событием называется такое событие, которое может быть, а может и не быть. Предсказать это заранее невозможно по причине очень большого количества факторов его определяющих. Но, не имея возможности определить точное число появления того или иного события в серии опытов, можно опытным путем получить некоторую информацию, то есть обнаружить имеющуюся в природе этого опыта закономерность.

Теории вероятностей

Вероятность и основные законы

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Если в N опытах наблюдалось N_А опытов с событием А, то частота появления этого события

N_А

р^*(А) = --------. (1-1)

N

Если проделать еще раз N опытов, то событие А опять будет наблюдаться N_А раз? Не обязательно! Может больше,чем N_А, может меньше, а может и опять N_А раз. Закономерность будет выражена точнее, если N увеличивать. Если устремить N в бесконечность, частота события станет его вероятностью

р(A) = Lim[Р^*(A)] = Lim (N_А / N). (1-2)

N→∞ N→∞

Вероятность события – численная мера объективной возможности его появления в опыте. Слово «объективной» означает, что, если бы опыт не проводился, закономерность все равно была бы.

Любая вероятность заключена в пределах

0 <= Р(А) <= 1.

Говоря о вероятности, необходимо понять ещё одно ее свойство. Если выделить из присутствующих одного студента, то коллектив разобьется на три части – Группа, Студент и Преподаватель. Попробуем оценить вероятность извлечения из колоды 52 карт одного из тузов. Вероятность появления какого-то конкретного туза равна 1/52. Так как нам все равно, какой туз, эта вероятность будет в 4 раза больше и составит 4/52. Пусть эта карта действительно оказалась тузом. Преподаватель показал эту карту Студенту и в колоду не вернул. Вероятность того, что следующая вынутая из колоды карта опять будет тузом для Студента и для Группы будет разной. Для Студента эта вероятность 3/51. Для Группы она равна 4/51 при условии, что в руках у Студента нет туза, и 3/51 в обратном случае. А чему будет равна эта вероятность для Преподавателя, если он не только вынул вторую карту из колоды, но и посмотрел ее? Для него вероятность вообще теряет всякий смысл, так как он знает, имеет информацию. Таким образом, одно и то же событие имеет разную вероятность для разных людей. В этом смысле вероятность может быть признана субъективной в отличие, например, от длины или массы, которые одинаковы для всех. Вероятность характеризует состояние нашего знания, или незнания. Вероятность имеет смысл только в связи с данной информацией. Безотносительной, «абсолютной» вероятности какого-либо события не существует.

Говоря о законах Теории вероятностей, необходимо вспомнить понятия конъюнкции событий и их дизъюнкции. Если событие С является дизъюнкцией событий А и В, то оно произойдет тогда, когда произойдет хотя бы одно из событий А или В (или оба вместе). Если же событие D является конъюнкцией этих событий, то оно произойдет только тогда, когда эти события случатся одновременно, иначе событие D не наступит. Cобытия С и D называются сложными событиями.

Например, если рассматривать всю изоляцию контактной сети межподстанционной зоны, то ее отказ есть дизъюнкция отказов отдельных гирлянд, так как при пробое любой из них контактная сеть не сможет держать рабочее напряжение.

С другой стороны, безотказная работа изоляции контактной сети есть конъюнкция безотказных работ всех гирлянд изоляторов рассматриваемого участка, она имеет место только тогда, когда ни одна из гирлянд не пробита.

Студентам-электрикам может быть полезной релейно-контактная аналогия этих понятий (рис. 1.6).

Нетрудно убедиться, что ток через обмотку реле D будет протекать при замыкании любого из контактов А или B, тогда как для запитки реле C необходимо одновременное замыкание обоих контактов – и реле А, и реле B.

Рис. 1.6.

Если сложное событие С заключается в появлении хотя бы одного из событий А или В, а одновременно они произойти не могут, то вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В.

Р(С) = Р(А) + Р(В). (1-3)

В этом случае события имеют специальное название.

Если события вместе наступить не могут, то они называются несовместными. Извлечение из колоды тузов – группа несовместных событий, так как одна карта никак не может быть сразу несколькими тузами. Если мы перебрали все возможные варианты несовместных событий, то одно их них случится непременно. Такая группа событий называется полной группой несовместных событий. Вероятность полной группы несовместных событий равна единице.

n

Р(С) = å Р(С_i) = 1. (1-4)

i=1

Самый простой пример такой группы событий –противоположные события А и Ā. Очевидно, что одно из них случится непременно и

Р(А +Ā) = Р(А) + Р(Ā) = 1. (1-5)

Как быть с конъюнкцией событий? Вероятность сложного события D = А В определяется условно, через вероятность события А при условии события В или через вероятность события В при условии события А.

Р(D) = Р(А В) = Р(А) Р(В/А) = Р(В) Р(А/В). (1-6)

Если события А и В не зависят друг от друга, то выражение Р(А/В) превратится в безусловную вероятность события А, а выражение Р(В/А) - в безусловную вероятность события В, и вероятность события D определится простым произведением

Р(D) = Р(А) Р(В) = Р(В) Р(А). (1-7)

Задача. Какова вероятность того, что на выборах президента США в 1992 году все три кандидата, представленные в бюллетенях (Дж. Буш-старший, Билл Клинтон и Рос Перо), являлись левшами, если допустить, что каждый десятый мужчина, родившийся в США, является левшой?

Так как представленные кандидаты не являются родственниками, рассматриваемые события (какой-то конкретный кандидат – левша) следует считать не зависящими друг от друга. Тогда вероятность того, что все три кандидата в президенты являются левшами, определяем по выражению (1-7)

P(D) = P(A) P(B) P(C) = 0,1 0,1 0,1 = 0,001.

Некоторые студенты, ничего не решая, сразу же заявляют, что искомая вероятность равна единице, иначе не было бы самой этой задачи. Следует признать, что в данном случае «студенческая мудрость» себя оправдывает - все три перечисленных политических деятеля действительно левши!

Остался нерешённым вопрос – как же рассчитать вероятность суммы совместных событий?

Задача. Чему равна вероятность того, что из двух наугад взятых из ящика лампочек хотя бы одна исправна, если известно, что вероятность исправности каждой из таких лампочек р = 0,6?

Складывать вероятности р в данном случае нельзя. Это сложение даст результат больше единицы, что противоречит здравому смыслу. В этом случае самое простое решение – воспользоваться уже имеющимися знаниями и расписать все возможные события. Получим полную группу из четырех несовместных событий:

1) Первая лампочка исправна, вторая – нет;

2) Первая лампочка неисправна, вторая исправна;

3) Обе лампочки исправны;

4) Обе лампочки неисправны.

Эти события сложные, каждое из них состоит из двух независимых друг от друга событий. Вероятности этих сложных событий определяются по формуле (1-7).

Р(Соб₁) = р₁ q₂ ,

где р₁ = 0,6 - вероятность исправности первой лампочки;

q₂ = 0,4 - вероятность неисправности второй лампочки.

Р(Соб₁) = 0,6 0,4 = 0,24.

Вероятность второго события

Р(Соб₂) = q₁ р₂ = 0,4 0,6 = 0,24,

так все как лампочки одинаковые.

Вероятность третьего события – одновременной исправности лампочек

Р(Соб₃) = р₁ р₂ = 0,6 0,6 = 0,36.

Вероятность четвёртого события – одновременной неисправности лампочек

Р(Соб₄) = q₁ q₂ = 0,4 0,4 = 0,16.

Проверим правильность наших вычислений сложением полученных вероятностей

Р(Соб₁) + Р(Соб₂) + Р(Соб₃) + Р(Соб₄) =

= 0,24 + 0,24 + 0,36 + 0,16 = 1,00.

то есть полная группа несовместных событий была составлена правильно.

Наша искомая вероятность равна сумме первых трех вероятностей, так как заданное условие – исправность хотя бы одной лампочки – выполняется в каждом из соответствующих событий.

Р = Р(Соб₁)+ Р(Соб₂)+Р(Соб₃) = 0,24 + 0,24 + 0,36 = 0,84.

А если бы мы вытаскивали из ящика не две, а четыре лампочки? Как решать задачу в этом случае? Расписать

все возможные события здесь было бы очень трудно, так как условие выполняется во всех событиях кроме одного – все четыре лампочки неисправны.

В таких случаях гораздо проще рассчитать вероятность противоположного события, и искомую вероятность получить, вычитая этот результат из единицы по формуле (1-5).

В случае двух лампочек вероятность такого события

Р(Соб₄) = q₁ q ₂ = 0,4 0,4 = 0,16.

Тогда ответ к задаче

Р = 1 - 0,16 =0,84.

Когда количество прямых событий бывает очень большим, такой подход к решению задачи оказывается единственно возможным.

Если представить ситуацию графически, то станет понятным, почему в случае совместных событий сложение вероятностей даёт ошибку. На рисунке 1.7 цифрой 1 отмечена область первого события, цифрой 2 – второго, цифрой 3 – третьего. Всё остальное пространство относится к четвёртому событию.

Состояния безотказной работы 1 -й и 2 -й ламп (фигуры 1 и 2 на рисунке 1.7) накладываются друг на друга, и, суммируя вероятности безотказной работы ламп, мы область 3 учли дважды. Так как эта область соответствует вероятности третьего события, можно вывести формулу для определения искомой вероятности, вычитая из

Дата добавления: 2014-01-15