Понятие о случайных событиях и случайных величинах

Области событий исправности и неисправности

1 3 2 4

Рис. 1.7

суммы вероятностей исправности одной лампочки (р = 0,6) их произведение

Р = Р(А) + Р(В) - Р(А) Р(В), (1-8)

что в нашем случае даст то же результат, что и выше

Р = 0,6 + 0,6 - 0,6 0,6 = 1,2 – 0,36 = 0,84.

Если бы события были несовместны, то есть исправность одной лампочки означала бы обязательную неисправность второй и наоборот, то изображенные на рисунке 1.7 фигуры 1 и 2 не накладывались бы друг на друга, и искомая вероятность определялась бы как простая сумма заданных вероятностей безотказной работы лампочек.

А если бы лампочки были неодинаковые?

Задача. В ящике имеется 80 лампочек – 48 штук мощностью 100 Вт, 24 штуки мощностью 60 Вт и 8 штук мощностью 40 Вт. Вероятности безотказной работы (ВБР) лампочек 100 Вт - р₁ = 0,75, лампочек 60 Вт - р₂ = 0,50 и лампочек 40 Вт - р₃ = 0,40. Определить вероятность того, что любая наугад взятая лампочка окажется исправной.

Для решения этой задачи опять составим перечень всех возможных событий. Здесь таковых будет шесть:

1. Извлечена лампочка 100 Вт, и она исправна.

2. Извлечена лампочка 100 Вт, но она неисправна.

3. Извлечена лампочка 60 Вт, и она исправна

4. Извлечена лампочка 60 Вт, но она неисправна.

5. Извлечена лампочка 40 Вт, и она исправна

6. Извлечена лампочка 40 Вт, но она неисправна.

Из составленной полной группы несовместных событий условию задачи отвечают события 1, 3 и 5.

Вероятности каждого из этих событий определим по выражению (1-6), где первые сомножители Р(А) представляют собой вероятности извлечения ламп той или иной мощности, а вторые сомножители Р(В/А) – вероятности р₁, р₂, и р₃ – условные вероятности исправности лампочек при условии извлечения лампочек 1-го, 2-го или 3-го значений мощности.

p(Соб₁) = (48/80) р₁ = 0,6 0,75 = 0,45;

p(Соб₃) = (24/80) р₂ = 0,3 0,5 = 0,15;

p (Соб₅) = (8/80) р₃ = 0,1 0,4 = 0,04.

Искомая вероятность определится суммой

Р = 0,45 + 0,15 + 0,04 = 0,64.

Решив эту задачу, мы численно проиллюстрировали известную из математики [л3] теорему полной вероятности

n

р(В) = å р(А_i) р(В/А_i), (1-9)

i=1

где р(А_i) – вероятность извлечения из ящика лампочки i -го

значения мощности;

р(В/А_i) – вероятность исправности лампочки i –го значения

мощности (у нас это - р₁, р₂, и р₃).

До сих пор мы рассматривали только случайные события. В какой-то мере они подобны точке на оси, то есть никакого измерения не имеют. Но в практике есть целый ряд величин, связанных со случайными событиями, и, тем не менее, таковыми не являющимися. Если у электрической лампочки измерить время её работы от включения до перегорания, то мы получим какую-то величину (время или наработку), которая у каждой отдельно взятой лампочки будет своей. Так как на работу лампочки влияет огромное количество факторов, то предсказать время ее работы до отказа заранее невозможно. Такие величины называются случайными величинами.

Случайной величиной называется величина, которая в результате испытаний может принимать то или иное значение. При этом подразумевается, что само это значение будет непременно, то есть событие, до которого эта величина измеряется (у нас отказ), случится обязательно. Главные случайные величины, изучаемые в Теории надежности, - наработка до отказа и время восстановления.

Случайные величины бывают дискретные и непрерывные, последние встречаются гораздо чаще, например, наработка до отказа различных устройств, время восстановления после отказов, токи фидеров и вводов подстанций, напряжения на шинах подстанцийи на токоприемниках электровозов и другие.

Если до опыта точно определить значение случайной величины невозможно, то, наблюдая за работой какой-то партии изделий, можно вывести некоторые объективные закономерности в поведении случайных величин. Эти закономерности описываются с помощью вероятностных характеристик распределения. В этих характеристиках используется не вероятность точного значения случайной величины, а вероятность непревышения данной случайной величиной какого-то заданного, неслучайного значения. Например, для случайной величины Т такая характеристика будет вероятностью

F(t) = p{T<=t}. (1-10)

Эта характеристика называется интегральной функцией распределения случайной величины T (или просто функцией распределения). Как у всякой вероятности минимальное значение функции F(t) равно нулю, а максимальное - единице. Функция распределения – неубывающая функция времени. Пользоваться функцией

распределения неудобно, поэтому чаще используется не сама эта функция, а ее производная по значению случайной величины (у нас – по времени) – плотность распределения случайной величины

d[F(t)]

f(t)=F′(t) = ---------. (1-11)

Дата добавления: 2014-01-15