Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Рассмотрим неоднородное уравнение

где и константы, а функция в правой части уравнения имеет один из следующих трех видов

, , ,

- произвольный многочлен степени . Решение такого уравнения может быть получено следующим образом.

Для начала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

Квадратное уравнение назовем характеристическим уравнением для нашего уравнения. Пусть , – корни этого квадратного уравнения. Общее решение однородного уравнения

имеет вид

1. ,

если , - два различных вещественных числа; имеет вид

2. ,

если и, наконец, решение имеет вид

3. ,

если , - комплексно-сопряженные корни характеристического уравнения.

Пример 1. Найти общее решение однородного уравнения.

- однородное уравнение.

- характеристическое уравнение.

- корни характеристического уравнения.

- общее решение однородного уравнения.

Пример 2. Найти общее решение однородного уравнения.

Пример 3. Найти общее решение однородного уравнения.

Общее решение неоднородного уравнения может быть получено как сумма общего решения однородного уравнения и произвольного частного решения неоднородного уравнения . Это частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов по следующему правилу.

Сопоставим функции в правой части исходного уравнения число . Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в том же виде, в каком записана правая часть, то есть

если , и в виде

если или . Здесь , многочлены степени , коэффициенты которых можно определить, подставив в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях. Если является корнем характеристического уравнения (эта ситуация называется резонансом), то степень многочленов , увеличивается на 1.

Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.

Решение. Сначала найдем общее решение однородного уравнения. Выпишем характеристическое уравнение

Û

Следовательно, общее решение линейного однородного уравнения имеет вид

.

Поскольку корни характеристического уравнения не совпадают с соответствующим показателем правой части , частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

.

Получаем:

,

Подставляя , , в исходное уравнение, получаем:

Сокращая на и приводя подобные, получим

,

,

Откуда Û

Общее решение неоднородного уравнения имеет, следовательно, вид

.

Теперь найдем решение задачи Коши. Имеем:

,

Поскольку , второе уравнение имеет вид . Решаем систему линейных уравнений на неизвестные и :

Умножая первое уравнение системы на 2 и вычитая из него второе уравнение, получим: Û .

Далее, .

Ответ: .

Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: ,

откуда , где - мнимая единица. Следовательно, , , и общее решение однородного уравнения есть

.

Правая часть исходного неоднородного уравнения имеет то же собственное число, что и характеристическое уравнение, следовательно, мы имеем дело с резонансом. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде .

Подставляя в исходное уравнение, с учетом того, что

,

получим:

Откуда

и, следовательно, , .

Таким образом, частным решением неоднородного уравнения является функция .

Общее решение неоднородного уравнения может быть записано в виде

.

Найдем константы и , при которых выполнены краевые условия

, .

Так как ,

получаем систему линейных уравнений на и :

откуда .

Дата добавления: 2014-01-15